Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Albert_

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Système à résoudre

Bonsoir,

Je bute sur le problème suivant :

Soient [tex]a_1 , a_2 \in \mathbb{C}[/tex] :
Résoudre dans  [tex]\mathbb{C}[/tex]  le système suivant :

[tex]\left\{\begin{array}{rclccc}x-iy&=&-ia_2-a_1&&&(1)\\ix+y&=&ia_1-a_2&&&(2)\\(a_1+ia_2)x+(a_2-ia_1)y&=&1&&&(3) \end{array} \right.[/tex]

Merci pour votre aide.

freddy

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Re : Système à résoudre

Soient [tex]a_1 , a_2 \in \mathbb{C}[/tex] :
Résoudre dans  [tex]\mathbb{C}[/tex]  le système suivant :

[tex]\left\{\begin{array}{rclccc}x-iy&=&-ia_2-a_1&&&(1)\\ix+y&=&ia_1-a_2&&&(2)\\(a_1+ia_2)x+(a_2-ia_1)y&=&1&&&(3) \end{array} \right.[/tex]

PS : bravo pour la présentation !

si tu fait -i(2), tu as :

[tex]\left\{\begin{array}{rclccc}x-iy&=&-ia_2-a_1&&&(1)\\x-iy&=&a_1+ia_2&&&(2)\\(a_1+ia_2)x+(a_2-ia_1)y&=&1&&&(3) \end{array} \right.[/tex]

donc x-iy=0 => x=y=0 ce qui contrarie (3), donc pas de solution.

Me serais je trompé (mal réveillé !) ?

imed

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Re : Système à résoudre

Bonjour Freddy,

on demande de résoudre dans C et non dans R

freddy

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Re : Système à résoudre

Re,

si x et y sont des éléments de C, on doit alors trouver x et y tq

1) [tex]x=iy[/tex] et

2) [tex](a_1+ia_2)x=\frac12[/tex]

donc on a [tex]x=\frac12\times (\rho_1)^{-1}e^{-i\theta_1}[/tex]

et [tex]y=\frac12\times \rho_1^{-1}e^{-i\left(\theta_1-\frac{\pi}{2}}\right)[/tex]

avec des notations "évidentes".

c'est mieux ?

Albert_

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Re : Système à résoudre

Bonsoir,
Merci beaucoup pour vos réponses.
Il y'a un truc que je ne comprends pas dans ce que vous écrivez :
Si, dans [tex]\mathbb{C}[/tex] :
[tex]x - iy = - i a_2 - a_1[/tex]
[tex]ix + y = ia_1 - a_2[/tex]
Alors :
[tex]x - i y = 0[/tex]
???
Merci pour votre aide.
P.S : ... parce que si [tex]x - iy = 0[/tex] , alors, on doit forcement avoir, [tex]- i a_2 - a_1 = 0 = ia_1 - a_2[/tex] , ce qui n'est pas toujours le cas ... En bref, on ne peut pas aller par implication [tex]\Longrightarrow[/tex] , mais par équivalence : [tex]\Longleftrightarrow[/tex] ...

Dernière modification par Albert_ (15-06-2011 22:57:14)

freddy

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Re : Système à résoudre

Salut,

j'ai modifié (2) en multipliant à gauche et à droite par [tex]-i[/tex] !

Par ailleurs, si x et y sont des réels, [tex]x-iy=0 \Rightarrow x=y=0[/tex] car 1 et i base du R espace vectoriel C.

Si x et y sont des complexes, alors l'implication est fausse.

On a [tex]x=iy \Leftrightarrow a+ib = a'i-b' \Leftrightarrow a=-b'\; \text{et}\; b=a'[/tex]

Albert_

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Re : Système à résoudre

Merci beaucoup pour vos reponses.
Donc, le système n'admet pas de solution.

J'ai une autre question à vous poser :

Est ce qu'il existe une extension de [tex]\mathbb{C}[/tex] qu'on note [tex]\mathbb{M}[/tex] tel que le polynome [tex]P(X,Y) = X^2 + Y^2 + 1[/tex] est réductible dans  [tex]\mathbb{M}[/tex] ?

Merci pour votre aide.