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panolé

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determinant de matrice par bloc

Bonsoir,

J'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre, en voici l'énoncé :

Soit A,B,C appartenant aux matrices n*n (K) et D appartenant aux matrices inversibles (K) telles que CD=DC.

Montrez que det [A B ] = det(AD-BC)
                        [C D]

Pouvez vous m'aider? Ou du moins me donner quelques pistes...

Merci d'avance

Groupoid Kid

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Re : determinant de matrice par bloc

Salut panolé

héhé un grand classique :)

Tu as sûrement déjà dû entendre parler des opérations élémentaires sur les lignes et colonnes d'une matrice, et sans doute sais-tu que ces opérations peuvent se faire en multipliant par des matrices élémentaires (transvection, dilatation). Si ce n'est pas le cas, vas voir sur wikipedia ou ici :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ction.html
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ation.html
et fais quelques essais pour voir comment ça marche.

Maintenant, rien ne t'empêche d'utiliser de telles matrices élémentaires en mettant dedans des blocs matriciels au lieu de coefficients. Il te suffit donc de résoudre ton problème à l'aide d'opérations élémentaires sur les blocs, de bien regarder à chaque fois ce qui se passe pour le déterminant, et le tour sera joué :)

panolé

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Re : determinant de matrice par bloc

Je ne vois pas comment proceder...
En quoi le fait d'effectuer les opérations va résoudre la démonstration?
Je pars de la matrice A B C D et je la multiplie par une matrices de transvection ou de dilatation?
Je ne vois vraiment pas ... :S

Groupoid Kid

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Re : determinant de matrice par bloc

Erf, pardon, la clé était cachée dans ton titre, j'ai donc oubliée de la mentionner ^^ Il faut bien sûr chercher à obtenir un déterminant triangulaire par blocs. Voilà un exemple de point de départ :

[tex]\left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} A & B \\ D^{-1}C & I\end{array}\right][/tex]
Il s'ensuit que :
[tex]\left|\begin{array}{cc} A & B \\ C & D\end{array}\right|=\det(D)\times\left|\begin{array}{cc} A & B \\ D^{-1}C & I\end{array}\right|[/tex]

Ne reste plus qu'à faire apparaître un zéro et bidouiller un peu (il reste une hypothèse inutilisée...) pour obtenir la formule souhaitée.

Dernière modification par Groupoid Kid (20-04-2011 18:19:27)

panolé

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Re : determinant de matrice par bloc

Je comprends mieux! Merci beaucoup!