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#1 18-04-2011 09:36:06
- mathieu64
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matrice de covariance
Bonjour,
J'arrive pas à comprendre l'égalité [tex]Var(<V,X>)=E(<V,X-E(X)>^2)={}^t{VKV}[/tex] Ou X est un vecteur aléatoire de [tex]\mathbb{R}^d[/tex], V est un vecteur de [tex]\mathbb{R}^d[/tex] et K la matrice des coefficients de covariance de X. C'est la deuxième égalité que j'arrive pas à gérer la première c'est ok.
Merci d'avance
Dernière modification par mathieu64 (18-04-2011 09:42:18)
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#2 18-04-2011 11:24:04
- freddy
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Re : matrice de covariance
Salut,
ce que je ne comprends pas, moi, est le sens que tu donnes au calcul de la variance de deux vecteurs aléatoires.
La variance ne concerne qu'une va, par contre on peut calculer la covariance entre deux va. Donc quelle est exactement ta question ?
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#4 18-04-2011 13:13:39
- freddy
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Re : matrice de covariance
Re,
OK, au temps pour moi.
Donc tu veux voir comment se généralise la variance d'une va multipliée par un scalaire non nul, soit
[tex]var(\alpha\times U)=\alpha^2\times \sigma_U^2[/tex]
Sous réserve que je comprenne tes notations, on a :
[tex]<V,X> = \sum_{i=1}^d v_i\times X_i=V^tX[/tex]
Ensuite, on a :
[tex]Var(<V,X>)=E\left(\sum_{i=1}^d v_i\times \left( X_i-E(X_i)\right) \times \sum_{j=1}^d v_j\times \left(X_j-E(X_j)\right)\right)\right)=\sum_i \sum_j v_i E\left(X_i-E(X_i)\right\times \left(X_j-E(X_j)\right)v_j[/tex]
[tex]Var(<V,X>)=\sum_i \sum_j v_i Cov\left(X_i,X_j\right)v_j[/tex]
A partir de là, je te laisse finir pour la notation matricielle, si tu veux bien.
Dernière modification par freddy (18-04-2011 13:28:43)
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#5 18-04-2011 13:45:39
- mathieu64
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Re : matrice de covariance
Merci bien Freddy mais je dois avouer avoir du mal sur l'égalité [tex]Var(<V,X>)=E\left(\sum_{i=1}^d v_i\times \left( X_i-E(X_i)\right) \times \sum_{j=1}^d v_j\times \left(X_j-E(X_j)\right)\right)\right)[/tex]
Si tu peux m'éclairer un peu dessus. Après la fin pas de problème.
Merci d'avance
Dernière modification par mathieu64 (18-04-2011 13:46:16)
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#6 18-04-2011 15:27:21
- freddy
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Re : matrice de covariance
Re,
faisons simple : c'est le développement du produit [tex](X+Y+Z)\times (X+Y+Z)[/tex]
C'est pour cela qu'on voit émerger la (q, q) matrice de variance covariance des q éléments du vecteur X.
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