Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 12-03-2011 13:43:48
- mathieu64
- Membre
- Inscription : 06-11-2009
- Messages : 192
matrice dérivée
Bonjour,
J'ai un exo ou je suis pas sûr de moi:
Soit [tex] f:\mathbb{R} ->Mn(\mathbb{R})\;;\; t->\begin{pmatrix}\cos(t)&\sin(t)\\ -\sin(t)&\cos(t)\\\end{pmatrix}[/tex]
Alors comme la dimension de [tex]Mn(\mathbb{R})[/tex] est de dimension finie, les normes sont équivalentes donc j'utilise pour calculer la dérivée la norme max de la valeur absolue des coefficients. et donc je trouve
[tex] f':t->\begin{pmatrix} -\sin(t)&\cos(t)\\ -\cos(t)&-\sint(t)\\\end{pmatrix}[/tex]
Mon problème est le suivant :
on me demande de montrer que la norme induite par la norme euclidienne sur les matrices de f'(t ) est inférieure ou égale à 1 pour tout t.
Pour calculer la norme euclidienne on utilise la formule tr(t(A)B)?
Dans ce cas je trouve que la norme de f' est constante égale à 2. Ou est le problème?
Merci d'avance
Hors ligne
#2 12-03-2011 17:03:43
- Groupoid Kid
- Membre
- Lieu : Entre les catégories Gpd et HS
- Inscription : 09-02-2011
- Messages : 155
Re : matrice dérivée
Ta formule de trace correspond au produit scalaire canonique sur [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex], et je ne vois pas bien le rapport avec la norme d'opérateur induite par la norme euclidienne sur les vecteurs de [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Ta norme n'est même pas une norme induite !
Regarde bien la nature des matrices qui te sont proposées ici : elle ont une signification gémoétrique précise (au passage, tu remarqueras que [tex]f'(t)=f\left(t+\frac{\pi}{2}\right)[/tex] ). Je pense que la formule que tu cherches utilise le rayon spectral :-)
Pour info : quand tu dérives f, inutile d'utiliser des normes matricielles azimuthées ! Décompose plutôt ta fonction dans la base canonique de [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex] :
[tex]E_{11}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\ E_{12}=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\
E_{21}=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right],\ E_{22}=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right].[/tex]
Il te reste alors seulement à dériver les coordonnées de f dans cette base (qui sont des fonctions [tex]\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex]) pour en déduire f' (les coordonnées d'une dérivée sont toujours les dérivées des coordonnées, par continuité + linéarité des projections).
Hors ligne
#3 12-03-2011 17:32:27
- mathieu64
- Membre
- Inscription : 06-11-2009
- Messages : 192
Re : matrice dérivée
OK merci, pour la norme max je l'ai utilisée par ce que c'était la première fois que je dérivais ce genre d'objet donc je voulait m'assurer que ça revenait bien à dériver les fonctions des coefficients de la matrice et par la même occasion m'assurer que le raisonnement était bon. Mais sinon je vois pas bien ce qu'est cette norme d'opérateur euclidienne, peut tu me la donner parce que je vois pas comment on si prend pour montrer que f' a une norme inférieur à 1
Merci
Hors ligne
#4 12-03-2011 22:14:39
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : matrice dérivée
'soir,
La norme induite d'une matrice A (ou d'une application linéaire) est définie par :
[tex]\|A\|=\sup\{\|Ax\|;\ \|x\|\leq 1\}[/tex]
Ici, on ne parle de la norme induite par la norme euclidienne car la norme que tu choisis sur R^2 est la norme euclidienne. Autrement dit, et plus concrètement, ton problème est le suivant :
Soit (x,y) de norme euclidienne inférieure ou égal à 1, ie [tex]x^2+y^2\leq 1[/tex].
Tu dois montrer que f'(t).(x,y) est aussi de norme inférieure ou égale à 1, c'est-à-dire que
[tex] (-\sin t x+\cos t y)^2+(-\cos t x-\sin t y)^2\leq 1[/tex]
A+
Fred.
Hors ligne
#5 12-03-2011 22:57:29
Re : matrice dérivée
Salut,
@Fred : j'ai l'impression qu'il y a un problème de parenthèses dans ton expression. Ne serais-ce pas plutôt :
[tex] (-\sin (t) \cdot x+\cos (t) \cdot y)^2+(-\cos (t) \cdot x-\sin (t) \cdot y)^2\leq 1[/tex]
Hors ligne
Pages : 1