Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 19-02-2011 10:52:32
- mathieu64
- Membre
- Inscription : 06-11-2009
- Messages : 192
boule
Bonjour,
Quand on connait la mesure de Lebesgue de la boule unité dans Rn (notée Vn) et qu'on veut mesurer l'homoteties de la boule unité de rapport K, comment on montre que la mesure de la nouvelle boule est (K^n)*Vn . Au début je pensais utiliser la fonction caracteristique de l'ensemble de module plus petit ou égale à K
et comme la fonction est positive ramener le calcul à une integrale multiple, mais je m'en sort pas.
Merci d'avance.
Hors ligne
#2 19-02-2011 18:24:52
- Yvan
- Membre
- Inscription : 19-02-2011
- Messages : 1
Re : boule
Bonjour,
Je verrais une idée plus élémentaire pour arriver a ce résultat: la mesure de Lebesgue d'un rectangle R=[a1,b1]x...x[an,bn] est L(R)=(b1-a1)x...x(bn-an). Si on applique l'homothétie h de rapport K a un tel rectangle, son aire est multipliée par K^n: L(h(R))=K^n.L(R).
Maintenant, si on suppose que la boule est mesurable, on peu approcher sa mesure de Lebesgue par des mesures de pavages par des rectangles, de plus en plus fins.
En faisant intervenir ici la linéarité (et la continuité) de l'homothétie on devrait pouvoir conclure...
Pas sur que ça marche, il faudrait écrire un peu proprement...
J'espère que ça vous aide
Cordialement
Hors ligne
#4 19-02-2011 21:44:44
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : boule
Bonsoir,
On peut aussi appliquer la formule du changement de variables, http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … gtvar.html, effectivement à la fonction indicatrice de la boule.
Cela donne
[tex]Vol(B)=\int_{\mathbb R^n} 1_{KB}(x)d\lambda(x)=\int_{\mathbb R^n}1_{KB}(KX)K^n d\lambda(x),[/tex]
où l'application est [tex]\phi(x)=KX[/tex] dont le jacobien est précisément [tex]K^n[/tex]
Et on a exactement :
[tex]1_{KB}(Kx)=1_B(x)[/tex]
Fred.
Hors ligne
#6 22-02-2011 23:40:12
- Groupoid Kid
- Membre
- Lieu : Entre les catégories Gpd et HS
- Inscription : 09-02-2011
- Messages : 155
Re : boule
La méthode d'Yvan fonctionne, bien sûr ! Mais elle ne répondra pas à ton problème. Si tu utilises des "pavages", ce que tu vas faire c'est calculer la valeur de Vn. On n'appelle pas ça des pavages en général, mais plutôt une somme de Riemann.
Alors bien sûr, tu peux calculer Vn, puis [tex]Vol(K\cdot B)[/tex], et en déduire que l'un est [tex]K^n[/tex] fois plus petit que l'autre, mais ça ne me semble pas optimal comme méthode ^^
Dernière modification par Groupoid Kid (22-02-2011 23:40:43)
Hors ligne
Pages : 1