Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mathieu64

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homographie

Bonjour,
J'ai du mal à montrer  que l'homographie h(Z)=a*Z+b avec module de a=1 et une rotation d'arg(a) et de centre b/2. Au passage intuitivement j'aurai pensé à centre b mais dans l'exo c'est écrit b/2.

Merci d'avance

Fred

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Re : homographie

Salut,

  Tu cherches le point invariant en résolvant Z=aZ+b, soit Z=b/(1-a).
Soit [tex]Z_0[/tex] ce point.
Alors tu as :

[tex]h(Z)-Z_0=a(Z-Z_0)[/tex]
ce qui correspond bien à une rotation d'angle arg(a) et de centre [tex]Z_0[/tex] (qui n'est ni b, ni b/2, sauf si on d'autres informations sur a (par exemple, a=-1)).

Fred.

mathieu64

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Re : homographie

merci

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : homographie

Bonsoir

Et ce n'est pas une homographie ...

mathieu64

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Re : homographie

bonsoir,
On dirait bien que si http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … aphie.html  ...

Dernière modification par mathieu64 (01-02-2011 18:24:49)

Trickoo

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Re : homographie

Bonsoir

Et c'est quoi une homographie?

Fred

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Re : homographie

cf le lien donné par Mathieu.

Fred.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : homographie

Bonsoir:

La  définition  que  j'avais  est   [tex]z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}[/tex]   avec  [tex]c \neq 0[/tex]   et  [tex]ad-bc \neq 0 [/tex]

Mais  je  viens  de  jetter   un  coup  d'oeil  ici  et  on  voit  que  cette définition  est  envisageable la  bonne  idée !
Toutefois l'appelation n'est  pas  homographie  mais fonction homographique
Même chose ici

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (06-02-2011 03:55:53)

Groupoid Kid

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Re : homographie

Chouette, des homographies :)

Mohamed, si tu retires simplement ta condition de [tex]c=0[/tex], tu remarqueras que tu obtiens entre autres les fonctions de Mathieu ;-) Le mot magique qui manque ici est géométrie projective.

La différence entre homographie et fonction homographique est minime, et tient à la complétion à l'infini. On peut en effet refermer le plan complexe comme un papier de sucette, en envoyant tout ce qui part à l'infini en un seul point imaginaire, le point à l'infini. On obtient alors une sphère, la Sphère de Riemann, [tex]\mathbb{S}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/tex].

Les fonctions de Mathieu et de Mohamed s'étendent toutes les deux à cette sphère de Riemann, de façon évidente : pour les "fonctions homographiques" de Mohamed, on envoie leur pôle [tex]\dfrac{-d}{c}[/tex] (là où elles tendent vers l'infini en module) en [tex]\infty[/tex] et on envoie [tex]\infty[/tex] sur [tex]\dfrac{a}{c}=\lim_{z\to\infty}\frac{az+b}{cz+d}[/tex]. On obtient alors une bijection de [tex]\mathbb{S}[/tex], qui est l'homographie associée. La fonction donnée par mathieu est tout autant une homographie que les fonctions de Mohamed, simplement elle n'a pas de pôle, ou plutôt son pôle est en l'inifini. On l'étend tout bêtement à [tex]\mathbb{S}[/tex] en envoyant l'infini sur lui-même.

C'est cette grande disparité entre les deux cas qui conduit souvent à n'appeler homographies que les fonctions avec [tex]c\neq 0[/tex]. Mais une fois que l'on est sur la sphère de Riemann, le point à l'infini est un point comme les autres, et il n'y a aucune différence entre ces types de fonctions.

-----

Maintenant la définition générale :
homographie : On appelle homographie un isomorphisme d'espaces projectifs. (en général automorphisme)

Grosso modo, un espace projectif est un espace vectoriel (ou affine, c'est pareil) bidouillé, et les homographies (PGL) jouent le role de applications linéaires inversibles (GL).

J'espère que ça répond à ta question Trickoo ;-)

GK, qu'a pas pu résister :p

EDIT : en fait tout ça était déjà bien expliqué si on suit les liens associés à celui de Mathieu ^^ huhu

Dernière modification par Groupoid Kid (09-02-2011 14:29:18)

freddy

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Re : homographie

Salut,

bigre, que voilà du lourd.

j'espère que tu nous aideras pour les sujets trapus, il y en a quelques fois des costauds !

Bis bald !

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : homographie

Bonjour:

Merci Groupoid Kid pour  les  explications  interessantes.
Un  des  avantages de la  sphére  de Riemann est qu'elle est  compacte (compactifié d'Alexandrov du plan complexe) avec une  topologie dont  la  restriction à  [tex]\mathbb C[/tex] coincide avec la  toplogie naturelle du  plan  complexe.
Cela  fait  quelques années j'avais ,un peu,  examiné l'action des homographies sur les droites  et  cercles du plan ... et  on  peut voir  que  cela  se  ramène  à  l'étude de l'action  de  l'inversion [tex]I: z \mapsto \frac{1}{\overline{z }}[/tex] sur  ces  droites  et  cercles..
En  effet une  homographie  [tex]h[/tex]   définie  par [tex]h(z)=\frac{az+b}{cz+d}[/tex] dans le  cas  où  [tex]c \neq 0[/tex]  peut s'écrire [tex]h(z)= \frac{\delta}{c^2z+dc}+\mu[/tex]   avec [tex]\delta=-(ad-bc)[/tex] et  [tex]\mu= \frac ac[/tex]. De  sorte  que  [tex]h=S \circ I \circ s[/tex]  où  [tex]s(z)=c^2z +dc[/tex] (similitude directe)   et  [tex] S(z)=\delta \overline{ z} + \mu[/tex] (similitude indirecte)
Or l'action  des  similtude  sur  les  droites  et  le  cercles  est  connue (figures  de même   nature).
L'action  de  [tex]I[/tex]   est  comme  suit :
elle  transforme   une   droite ne  passant  pas  par  l'origine  en  un  cercle  passant par  l'origine .
une  droite  passant  par  l'origine  en  elle même
un  cercle  passant  par  l'origine  en  une  droite ne  passant  pas par  l'origine
un  cercle  ne  passant  pas  par  l'origine  en  un  cercle  ne passant  pas  par  l'origine ....

Sauf erreur  bien entendu !

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (10-02-2011 03:40:43)

Groupoid Kid

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Re : homographie

Aucune erreur :-)

En fait on peut faire une description plus empirique, en utilisant une jolie notion du temps jadis, aujourd'hui tombée en désuètude : la notion d'inversion du plan par rapport à un point.

Inversion : Soit [tex]\Omega[/tex] un point du plan, et [tex]k\in\mathbb{R}^*[/tex]. À tout point [tex]M[/tex] du plan, j'associe le point [tex]M'\in (\Omega M)[/tex] tel que [tex]\overline{\Omega M}\cdot\overline{\Omega M'}=k[/tex] (mesures algébriques).

On peut voir géométriquement (à l'aide de la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle) que les inversions préservent les droites-cercles de la façon dont tu le décris, en remplaçant "origine" par [tex]\Omega[/tex]. Toute la beauté de la géométrie complexe c'est qu'elle transforme la définition compliquée d'inversion en une équation d'une simplicité lapidaire. En effet, si j'identifie les points de [tex]\mathbb{C}[/tex] à des vecteurs de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] : [tex]\overline{z}z' = (\overrightarrow{z}|\overrightarrow{z'}) + i\cdot det(\overrightarrow{z},\overrightarrow{z'})[/tex].
Il suffit alors d'une seule équation pour exprimer simultanément que [tex]M,M',\Omega[/tex] sont alignés, et que le produit des mesures algébriques est [tex]k\in\mathbb{R}[/tex] : [tex]\overline{(M-\Omega)}(M'-\Omega) = k[/tex]. Il s'ensuit que l'équation complexe de l'inversion est :
[tex]M' = \Omega + \dfrac{k}{\,\overline{(M'-\Omega)}\,}[/tex]

On peut alors écrire les homographies à pôle comme la composée d'une inversion centrée en le pôle et d'un anti-déplacement. On écrit :
[tex]h(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\alpha+\frac{\beta}{z-\omega}=\alpha+\frac{ke^{i\theta}}{z-\omega}=v+e^{i\theta}\left(\overline{\omega} + \frac{k}{z-\omega}\right)[/tex]
Avec un peu d'entraînement, on peut alors décrire géométriquement l'image d'à peu près n'importe quelle figure :P

J'ai vu beaucoup de belles choses en maths, mais j'ai toujours trouvé cette décomposition véritablement époustouflante [tex]\heartsuit[/tex]

Junior ste

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Re : homographie

Salut.
Comment montrer qu'une homographie conserve l'alignement ???
En j'ai pris 3 points alignés de l'espace projectif P(E) je veux montrer que l'image de ces 3 points par l'homographie reste toujours alignés. Mais je ne parviens pas à traduire l'alignement de 3 points dans l'espace projectif puisque les points de l'espace projectif sont des droites pour mon espace vectoriel.