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mehdipcs

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Ensemble

Bonjour a tous

Voilà ma question: E étant un ensemble

On me demande de démontrer que si A [tex]\cap[/tex]B=A [tex]\cap[/tex]C et que A [tex]\cup[/tex]B=A [tex]\cup[/tex]C alors B=C

J'ai essayé de faire avec les lois de Morgan mé j'y arrive pa.
Merci de me conseiller svp

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Ensemble

Bonjour,

  Il vaut mieux procéder par disjonction de cas et par double-inclusion.

Prends d'abord x un élément de B. Deux cas sont possibles.
1. Ou bien x appartient aussi à A. Alors [tex]x\in A\cap B=A\cap C[/tex], et donc x est élément de C.
2. Ou bien x n'appartient pas à A. Mais alors [tex]x\in A\cup B=A\cup C[/tex], mais comme x n'appartient pas à A, c'est que forcément x appartient à C.
Ainsi, tout élément de B est aussi élément de C et on a l'inclusion [tex]B\subset C[/tex].
Pour l'inclusion réciproque, tu peux procéder de la même façon, ou dire que le problème est symétrique en B et C...

F.

Dernière modification par Fred (07-09-2010 20:55:06)