Forum de mathématiques - Bibm@th.net

franklino

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systemes de deux equation

Bonjour à vous
Je me tourne vers vous aujourd’hui avec un système de deux équations à deux inconnues, et dont la résolution me torture juste parce que ma préoccupation concernant le calcul du Résultant de deux polynômes n’a pas eu une suite favorable dans le forum, pouvant me permettre de me débloquer.
Le système en question est le suivant 
   X^3 – 3x{y^2} = 1    ;   3y{x^2} – y^3 = \sqrt {3}
J’ai eu à poser y=tx, par intuition bien sûr, ce qui m’a fait aboutir à l’équation
t^3 –\{3\times sqrt 3{t^2}} –\3t +\sqrt 3 = 0
Mais, deux questions me viennent à l’esprit : doit-on retrouver les solutions de notre système en fonction du paramètre t ?, ce qui serait absurde, car l’ensemble solution devrait être fini ; Ou doit-on resoudre notre équation linéaire ci-dessus ? Résolution qui d’ailleurs pour ma part, ne pourra que nous donner l’intervalle des trois solutions.

Ces questions n’ayant ouvert aucune porte, je me cogne davantage le front sur le mur, et pourtant avec le Résultant (R(y)) des deux équations de notre système, j’aurais déterminé y (car en effet R(y) =0), et par la suite, déduit x.

Je sens qu’il me manque ce petit coup d’œil. Alors je vous prie de voir si nous pouvons passer par une voie autre que celle du Résultant, pour résoudre notre système.
                                                  Merci bien

freddy

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Re : systemes de deux equation

Salut camarade,

le nombre de solution devrait être fini ssi tu avais un système de deux équations linéaires à deux inconnues.

Dans ton cas, si tu regardes bien, tu as comme domaine de solution :

[tex] x=y+\left(1+\sqrt{3}\right)^{\frac13},\;y \in \R[/tex]

car en sommant les deux équations tu obtiens [tex]\left(x-y\right)^3=1+\sqrt{3}[/tex] sauf erreur.

Bb

yoshi

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Re : systemes de deux equation

Bonsoir,

@frankllino, peut-être qu'en gras et en couleur, tu finiras par le retenir :
Sans les balises tex, aucun affichage LaTeX possible : suis le lien Code LaTeX, c'est écrit au début.

Pour un affichage de système
\begin{cases}x^3 - 3xy^2 &= 1   \\3x^2y - y^3 &= \sqrt 3\end{cases}
Soit avec les balises tex :
[tex]\begin{cases}x^3 - 3xy^2 &= 1   \\3x^2y - y^3 &= \sqrt 3\end{cases}[/tex]
le &, c'est pour l'alignement vertical des signes =

Et, freddy, si je somme membre à membre :
[tex]x^3 - 3xy^2+ 3x^2y - y^3 = 1+\sqrt 3[/tex]
Jusque-là, ok !
Sauf que [tex](x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3[/tex]
Ce sont les puissances impaires de y qui prennent un -
franklino, peux-tu vérifier ton énoncé ?

Désolé...
Par contre, pour le reste, je trouve la même équation en t que franklino...
[tex]t^3-3 \sqrt 3 t^2 -3t +\sqrt 3 = 0[/tex]

WxMaxima me donne les 3 solutions, mais elles m'arrachent les yeux : c'est louche !

@+

freddy

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Re : systemes de deux equation

Salut Yoshi,

je confirme, j'ai soumis le système d'équation à Mathematica, les solutions en x et y sont "hallucinantes".

Il doit y avoir une erreur d'énoncé qui devrait rendre mon erreur exacte.

Bb

Dernière modification par freddy (09-06-2010 13:23:12)

franklino

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Re : systemes de deux equation

Excusez moi pour la non utilisation du code latex bien que ce dernier soit important pour une meilleure vue de l’exercice. Je le decouvre encore.

Croyez-moi, mon énoncé est du copié-collé, et donc sans erreur. J’ai trouvé des solutions , mais celles-ci sont vraiment extravagantes si je peux dire ainsi, elles sont approximatives. Il faut alors se servir comme je l’ai déjà dit, du resultant des deux fonctions qui, lui nous permet d’exprimer une relation entre les coefficients et les racines des polynômes.
                     Je continue à fouiller comment faire l’application.
Merci

franklino

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Re : systemes de deux equation

hooooooooooo

dire ke vous m'enterrer peu à peu

yoshi

Modo Ferox

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Re : systemes de deux equation

Re,

x^3 - 3xy^2 &= 1   \\3x^2y - y^3 &= \sqrt 3

Ça ne n'est pas du copier/coller...
S'il n'y a pas d'erreur d'énoncé, alors aucun de tes lecteurs n'a trouvé...
Sinon, pourquoi ne te répondrions-nous pas ?

@+

franklino

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Re : systemes de deux equation

aieeeeeeeeeeeee