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#1 17-05-2010 09:17:56
- Picatshou
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- Messages : 272
algèbre
bonjour les amis ,dans un exercice d'algèbre j'ai voulu montrer ce qui suit:
soit H un espace hermitien , F un sous espace de H et u un endomorphisme de H
en sachant que j'ai montré que F est stable ainsi que son orthogonal par u et son adjoint et que l'adjoint de la
restriction de u sur F est égale à la restriction de l'adjoint de u sur F je doit montrer alors que quelque soit
X dans Ha ,u(X)-[tex]\bar{a}[/tex]X appartient à l'orthogonal de Ha
en sachant que a est une valeur propre de u et Ha est l'espace propre associé à a inclut dans H ?
merci d'avance pour ce qui puisse me répondre !
(salut mr Fred j'ai maitenant ajouté la notion de Ha et j'espère que c'est plus lisible merci d'avance pour l'aide !)
Dernière modification par Picatshou (17-05-2010 22:18:56)
Hors ligne
#8 19-05-2010 16:21:39
- essai
- Invité
Re : algèbre
Salut,
Dans ce genre d'exos il est très important de ne pas réfléchir, je m'explique : on s'en fiche comment marche les choses, en algèbre (surtout pour des concours) on a des définitions, des hypothèses et on essaie pas de voir plus loin, on les applique et ça marche à chaque fois. Je te promet que si tu fais ça alors la plupart (pas tous quand même) des exos tomberont. Bon courage pour la suite.
Ma proposition de solution :
Soit x dans Ha alors u(x)=ax
Soit y dans Ha
(u(x)-a*x,y)=(u(x),y)-a*(x,y)
On regarde alors le terme qu'on ne connait pas : (u(x),y)
Que faire ? On s'est pas servi de la seule hypothèse (outre lexistence du produit scalaire) que l'on ait : l'adjoint ! Donc on l'applique sur F = Ha :
(u(x),y)=(u*(x),y)=(x,u(y))=(x,ay)=a*(x,y)
On obtient le résultat. Ce qui veut dire, puisque u(x)=ax que soit Ha est égal à son orthogonal (impossible en hermitien) soit que a est réel.
J'espère que je t'ai aidé...
Bonne soirée
#10 21-05-2010 12:39:05
- essai
- Invité
Re : algèbre
Désolé, je vais essayer de mieux écrire.
Je désigne par u* l'adjoint de u, par Ha=Ker(u-a.id) et par <.,.> le produit scalaire sur H, par a' le conjugué de a et enfin par [tex]u_{F}[/tex] la restriction de u à F un sous-espace vectoriel de H.
On prend x dans Ha donc on a u(x)=ax
Maintenant on doit montrer que u(x)-a'x est dans l'orthogonal de Ha donc on prend y dans Ha
<u(x)-a'x,y> = <u(x),y>-a'<x,y>
On ne peut rien faire sur <x,y> donc on travaille l'autre membre, sachant que l'on a une seule et unique hypothèse : les trucs sur l'adjoint des restrictions de u. Donc je m'en sers de suite :
<u(x),y> = <[tex]u_{Ha}[/tex](x),y> = <[tex]u_{Ha}[/tex]*(x),y>
= <u*(x),y> = <x,u(y)> = <x,ay> (car y dans Ha)
= a'<x,y>
On obtient donc notre résultat.
Mais comme u(x)-a'x = (a-a')x est dans Ha il vient que soit Ha est égal à son orthogonal (ce qui est impossible) soit que a=a' et donc a est réel.
Voilà, j'espère que mes écritures étaient plus claires.
Bon aprèm !
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