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sam314

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calcul d' intégral sur un lacet .

Bonsoir je souhaiterais connaitre le calcul pour ces 2 intégrales que je n arrive pas a trouver .

[tex]\int_{\gamma}\frac{ln^2(z)}{z^2+1}},dz   et   de   \int_{\delta}\frac{ln(z)}{z^\frac{1}{2}(z^2+1)},dz .

    Sachant  que   \gamma  et   \delta[/tex] sont des lacets n englobant pas de singularites de ces 2 fonctions . Je me doute qu il faut utiliser la formule de Cauchy ou bien le théoreme mais je n y parviens pas !

Merci pour votre coup de pouce . A+

Dernière modification par sam314 (20-03-2010 20:37:28)

Fred

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Re : calcul d' intégral sur un lacet .

Bonjour,

  Si effectivement tes lacets n'englobent pas de zéros de la fonction,
alors ton intégrale sera tout simplement nulle (c'est effectivement un cas particulier
de la formule de Cauchy, l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un lacet est nulle).

Sinon, on peut appliquer le théorème des résidus.

Fred.

sam314

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Re : calcul d' intégral sur un lacet .

Bonjour ;

Oui mais comment montrer qu elles sont effectivement holomorphes car [tex]ln^2(x)[/tex] est effectivement holomorphe mais [tex]\frac{ln^2(x)}{z^2+1}[/tex]   ne l est a priori pas . Ne faut pas pour le montrer décomposer  [tex]z^2+1[/tex]  en produit de poles de la fonction  [tex]ln^2[/tex]  et faire une décomposition en éléments simples et grace a la linéarité de l intégrale on aura d une part  les intégrales nulles pour  les intégrales contenant un denominateur sous forme polaire grace au théoreme de Cauchy et ou on applique la formule de Cauchy pour les autres .

Dernière modification par sam314 (21-03-2010 11:43:19)

thadrien

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Re : calcul d' intégral sur un lacet .

Salut,

Tes fonctions sont holomorphes partout sauf sur les singularités. Comme tes lacets n'entourent pas ces singularités, d'après le théorème de Cauchy, tes intégrales sont nulles.

Est-ce que tu nous as bien donné le bon énoncé ?

sam314

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Re : calcul d' intégral sur un lacet .

Bonsoir ;

oui mais ma question dans mon second message est comment montrer que cette fonction est holomorphe sinon oui je sais que l intégrale est nul d apres Cauchy . Je n est pas encore vu le théoreme des résidus et je viens a peine de voir les differents types de singularité . Par exemple pour montrer que  [tex]\frac{ln(z)}{z^2-1}[/tex]  holomorphe . On sait que [tex]ln(z)[/tex] est holomorphe et si l on pose [tex]f(z) = \frac{ln(z)}{z^2 - 1} \to ln(z) = (z^2-1)f(z) = (z-1)(z+1)f(z) = (z-1)g(z)[/tex] avec  [tex]g(z)[/tex]  holomorphe  d  aprés  théoreme  des  points  isolés [tex]\to f(z)[/tex] holomorphe  . Voila comment je vois la chose . Merci de l aide .

edit : En effet je viens de voir que je dis n importe quoi depuis le début ; mes lacets passent par i dans mes 2 fonctions du premier message et dans celle ci le lacet passe par 1 .

Dernière modification par sam314 (21-03-2010 21:21:24)

Fred

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Re : calcul d' intégral sur un lacet .

En fait, si tu ne nous donnes pas exactement quels sont les contours sur lesquels tu intègres, on ne pourra que très difficilement t'aider précisément.

Fred.