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fadara

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Besoin d'aide(applications composées)

Bonsoir, je reviens encore pour un petit exercice
J'ai 3 ensembles E, F et G et f, g et h 3 applications de E dans F, F dans G et de G dans E.
Je dois montrer que si parmi les 3 applications hogof, gofoh, fohog, 2 sont injectives et la 3e surjective alors f, g et h sont bijectives
un petit coup de main pour démarrer

Fred

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Re : Besoin d'aide(applications composées)

Bonjour,

  Tout part de la propriété suivante, où u et v sont deux applications :
*si uov est injective, alors v est injective.
*si uov est surjective, alors u est surjective.
(Est-ce que ces propriétés sont dans ton cours? Sinon, prouve-les, ce n'est pas difficile).

Si tu supposes par exemple que tes deux premières applications sont injectives et la 3è surjective, on doit pouvoir prouver que
que f est bijective, h injective. Mais puisque f est bijective, on va pouvoir "simplifier" par f dans la 1ère et la 3ème application....
Je te laisse réfléchir autour de ces idées.

Fred.

freddy

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Re : Besoin d'aide(applications composées)

Salut,

c'est vrai que c'est assez amusant à établir.

Soit l'application v : E -> F et l'application u : F -> G.

Alors uov : E -> G est supposée être injective. ce qui signifie que si (x,y) éléments distincts de ExE, alors uov(x) est différent de uov(y).

Pour qu'il en soit ainsi, il faut alors que v(x) soit distinct de v(y) => l'application v est injective ! CQFD ...

Supposons maintenant que uov soit surjectif.

Ceci équivaut à dire : pour tout z de G, il existe x de E tq uov(x)=z => il existe t de F tq t=v(x) et u(t)=z =>l'application u est surjective !

*****************************

A partir de là, si hogof ( de E dans E) et gofoh (de F dans F) sont injectives => f et h sont injectives ; si fohog (de G dans G) est surjective => f surjective

On en déduit en particulier que f est bijective (car injective et surjective) et ... qu'il existe f' de F dans E tq fof'=f'of = Id

En composant par f' à droite, on a : hoghfof' = hog (qui est injective, donc g injective) ;

et par f' à gauche, on a : f'ofohog = hog (qui est surjective, donc h surjectif) => h est une bijection (car injectif et surjectif) et ...

fadara

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Re : Besoin d'aide(applications composées)

Bonsoir,
merci encore à vous deux pour votre aide
Voilà pour la 1ere partie
Soient E, F et G 3 ensembles et
f : E -> F, g: F -> G, h : G -> E
Supposons que hogof et gofoh sont injectives et fohog surjective
[tex]h \circ g \circ f  injective  alors  \forall (x, x') \in G \times G, h \circ g \circ f(x) = h \circ g \circ f (x') \Leftrightarrow g \circ f(x) = g \circ f(x')[/tex]
                                                                                                                                        [tex]\Leftrightarrow g \circ f  est  injective[/tex]
[tex]g \circ f  est  injective  alors  \forall (y, y') \in F \times F, g \circ f(y) = g \circ f(y') \Leftrightarrow f(y) = f(y')[/tex]
                                                                                                                                        [tex]\Leftrightarrow f est  injective[/tex]
De même, je prouve que si [tex]gofoh  injective  alors  h  est  injective[/tex]
Je m'embrouille un peu au niveau de la surjectivité de f

Fred

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Re : Besoin d'aide(applications composées)

Bonsoir Fadara,

  Ta preuve n'est pas correcte.
La définition de hogof injective est :
pour tous x,x' de E (et non de G, hogof est défini sur E) tels que hogof(x)=hogof(x'), alors
x=x'.
Voici une façon de prouver en détails ce que tu veux faire.

Imaginons que f ne soit pas injective. Alors on peut trouver x,y dans E distincts tels que f(x)=f(y).
Alors h(g(f(x)))=h(g(f(y))) et hogof n'est pas injective.
Par contraposée, si hogof est injective, alors f est injective.

Imaginons de même que f ne soit pas surjective. Alors f(E) est différent de F. Mais, un élément de fohog(F) est un élément de f(E). En effet, un tel élément s'écrit f(h(g(x))), donc f(y) avec y=h(g(x)). En particulier, fohog(F) est différent de F, et fohog n'est pas surjective. Par contraposée, si fohog est surjective, alors f est surjective.

Pour la suite, relis bien le message de Freddy!

Fred.

fadara

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Re : Besoin d'aide(applications composées)

Merci beaucoup