Forum de mathématiques - Bibm@th.net

fadara

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Petite aide

Bonjour à tous
Je reviens encore avec un petit exercice
E étant un ensemble, je dois démontrer les assertions suivantes
1. [tex]\forall A, B \in P(E),  (A \cap B = A \cup B) \Rightarrow A = B[/tex]
2. [tex]\forall A, B, C \in P(E), (A \cap B = A \cap C[/tex] et [tex]A \cup B = A \cup C) \Rightarrow B = C[/tex]
Pour le 1. j'ai supposé que [tex]\forall A, B \in P(E),  (A \cap B = A \cup B)[/tex] était vrai et j'ai montré que [tex]A = B[/tex]
en montrant que [tex]A \subset B[/tex] et [tex]B \subset A[/tex]
Mais pour le 2. je suis un peu perdu

jeff

Invité

Re : Petite aide

Bonjour,

pour le 2 tu peux distinguer les cas [tex]B\in A[/tex] et [tex]B\neq A[/tex]. Dans le second cas je te propose de montrer que [tex]A\cup B\backslash A=B\backslash A\cap B[/tex] et d'utiliser les relations données.

Fred

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Re : Petite aide

Bonjour,

  Voici une idéé pour une preuve simple pour la partie 2.
D'abord, par symétrie du rôle joué par B et C, il suffit de démontrer que [tex]B\subset C[/tex].
Soit donc [tex]x\in B[/tex]. On distingue deux cas :
* ou bien [tex]x\in A[/tex], et dans ce cas tu utilises [tex]A\cap B=A\cap C[/tex] pour démontrer que x est élément de C.
* ou bien [tex]x\notin A[/tex], et dans ce cas tu utilises [tex]A\cup B=A\cup C[/tex] pour démontrer que x est élément de C.

Tu y arrives?

Fred.

fadara

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Re : Petite aide

Tu y arrives?

Oui, je crois

Soit [tex]x \in B[/tex]
1e cas : [tex]x \in A[/tex]
[tex]x \in B \Rightarrow x \in A \cap B[/tex] car [tex]x \in A[/tex]
             [tex]\Rightarrow x \in A \cap C[/tex] car [tex]A \cap B = A \cap C[/tex]
             [tex]\Rightarrow x \in C[/tex]
Donc [tex]B \subset C[/tex]
2e cas : [tex]x \notin A[/tex]
[tex]x \in B \Rightarrow x \in  A \cup B[/tex]
             [tex]\Rightarrow x \in A \cup C[/tex] car [tex]A \cup B = A \cup C[/tex]
             [tex]\Rightarrow x \in C[/tex] car [tex]x \notin A[/tex]
Donc [tex]B \subset C[/tex]

Par contre, je n'ai pas saisi  pourquoi on n'a plus besoin de montrer l'inclusion dans l'autre sens

Fred

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Re : Petite aide

C'est cela, oui. Tu peux aussi prouver l'inclusion dans l'autre sens, mais la preuve sera strictement identique.

Fred.