Encadrement et limite de suite [Résolu]

jthessa · 15-11-2008 16:53:51

Bonjour,

Je cherche une aide pour ceci :

Obtenir un encadrement, une minoration ou une majoration simple permettant de conclure à l'existence d'une limite pour les suites Un suivantes :

A) Un = n! / n^n
B) Un = ((n!)^2) / n^n

pour la suite A) :

-je vois bien que la suite décroît de 1 à 0 quand n varie de 1 à +infinity, sa limite est donc 0 ,

pour la suite B) :

-je vois bien qu'elle croît de 1 à + infintiy quand n varie de 1 à +infinity, elle n'aurait donc pas de limite si ce n'est à +infinity

Cela me semble évident ( suffit de calculer quelques termes avec une machine pour s'en convaincre)

Mais je ne sais pas démontrer et formuler correctement cela ...

Qui peut m'expliquer la méthode correcte de démonstration et de rédaction de la solution.

(NOTA : J'étudie MPSI seul par correspondance, via le CNED, et je n'ai pas de prof à questionner)

Merci de votre aide

Fred · 15-11-2008 18:08:09

Salut jthessa, et bienvenue sur BibM@th.

La réponse à l'exercice n'est pas du tout immédiate,
et demande un peu d'astuce.
Au niveau MPSI, voici une façon de procéder : on écrit
[tex]{u}_{n}=\frac{1\times2\times...\times n}{n\times n\times...\times n}=\frac{1}{n}\times\frac{2}{n}\times...\times\frac{\left[\frac{n}{2}\right]}{n}\times\frac{\left[\frac{n}{2}\right]+1}{n}\times...\times \frac nn[/tex]
Pour les [n/2] premiers termes, le rapport j/n est inférieur à 1/2 :
si k<=[n/2], on a k<=n/2 et k/n<=1/2.
D'autre part, pour les autres termes, le rapport est inférieur ou égal à 1.
On obtient donc
[tex]0\leq u_n\leq \frac{1}{2^{[n/2]}}[/tex]
Par le théorème d'encadrement des limites, [tex]u_n[/tex] converge vers 0.

Pour la seconde suite, on regroupe les termes de (n!)^2 de façon astucieuse :
[tex]\begin{array}{rcl}(n!)^2&=&\big(n\times(n-1)\times\dots\times1\big)\big(1\times 2\times \dots\times n)\\&=&(n\times 1)\times( (n-1)\times 2)\times\dots (2\times(n-1))\times (1\times n)\\&=&\prod_{k=0}^{n-1}(n-k)(k+1)\end{array}[/tex]

Maintenant, il est facile de vérifier que, pour tout k de 0,...,n-1, on a
[tex](n-k)(k+1)\geq n[/tex]
(il suffit de développer à gauche et d'éliminer).
D'autre part, pour [tex]k=[n/2][/tex], on a [tex](n-[n/2])([n/2]+1)\geq (n/2)^2[/tex].
D'où on obtient :
[tex]u_n=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k)(k+1)}{n}\geq \left(\frac{n}{2}\right)^2[/tex]

(on a minoré tous les termes du produit par 1, sauf celui en k=[n/2] par (n/2)^2).
On en déduit que u_n tend vers +oo.

Peut-être que quelqu'un trouvera une façon plus simple de procéder.

Fred.

jthessa · 16-11-2008 10:29:25

Merci Fred pour cette démonstration que j'étais loin de pressentir...

...et j'ai encore 4 suites d'expression plus complexes pour lesquelles on me demande la même question soit :

"Obtenir un encadrement, une minoration ou une majoration simple permettant de conclure à l'existence d'une limite pour les suites U_n suivantes ..."

Je vais donc essayer d'analyser lesdites suites dans ce sens ... a moins qu'une méthode plus simple me soit donnée, l'une de ces suites, assez difficile pour moi, est :

U_n=[ 2.sin_1/n + (3/4).cos_n ]^n

Une aide serait , encore une fois, bienvenue...

NOTA : je ne sais pas me servir de latex ou de l'éditeur d'équation pour réaliser une écriture mathématique des équations, comment apprendre ... sans casse...faut-il que j'installe un logiciel LATEX ? lequel ? ou bien peut-on se servir de l'éditeur de OpenOffice...Je suis sous Vista édition Familiale.

Merci de m'aider pour ces deux questions

yoshi · 16-11-2008 11:44:40

Bonjour,

jthessa a écrit :

(...)comment apprendre ... sans casse...faut-il que j'installe un logiciel LATEX ? lequel ? ou bien peut-on se servir de l'éditeur de OpenOffice...(...)

Je vais répondre sur la forme.
Aprrendre sans casse ... Bah ! Qu'est-ce que tu veux casser ? Tu fais comme si tu écrivais un message, tu cliques sur Insérer une équation, quand tu as fini dans l'interface tu cliques sur Insérer, puis de retour dans le message, clique sur Prévisualisation, puis tu effaces tout, et fais Retour arrière avec le navigateur...
Au pire tu envoies ton message, puis tu le supprimes immédiatement après...
Je t'envoie un tuto (exempt de tout virus) d'une page en .pdf que j'ai fini de rédiger il y a peu...

Non, pas besoin d'installer quoi que soit..
Au passage, l'Editeur d'équations d'OOo dont je me sers en dehors du Forum génère un code très proche de LaTeX : en général, il suffit de rajouter \ devant les mots clés pour en faire du Code LaTeX pur.

@+

Barbichu · 16-11-2008 12:41:17

Salut,

jthessa a écrit :

[Quelle est la nature de cette suite ?]
[tex]u_n=\left(2\sin{\left(\frac{1}{n}\right)} + \frac{3}{4}\cos{n}\right)^n[/tex]

On sait que [tex]|\cos n|\leq 1[/tex] pour tout [tex]n[/tex] (1)
Et comme [tex]\sin{\left(\frac{1}{n}\right)} \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0[/tex], il existe [tex]A > 0[/tex] tel que [tex]\forall n>A,\,\left|\sin{\left(\frac{1}{n}\right)}\right| \leq \frac{1}{16}[/tex] (2)

Alors [tex]|u_n| = \left|\left(2\sin{\left(\frac{1}{n}\right)} + \frac{3}{4}\cos{n}\right)^n\right|[/tex]
[tex]= \left(\left|2\sin{\left(\frac{1}{n}\right)} + \frac{3}{4}\cos{n}\right|\right)^n[/tex]
[tex]\leq \left(\left|2\sin{\left(\frac{1}{n}\right)}\right| + \left|\frac{3}{4}\cos{n}\right|\right)^n[/tex] (par croissance de [tex]x \mapsto x^n[/tex] et inégalité triangulaire)
[tex]\leq \left(2\frac{1}{16} + \frac{3}{4}\right)^n[/tex] pour [tex]n>A[/tex] (par croissance de [tex]x \mapsto x^n[/tex] et les deux inégalités (1) et (2) )
[tex]\leq \left(\frac{7}{8}\right)^n[/tex] pour [tex]n>A[/tex]

Or [tex]\left(\frac{7}{8}\right)^n \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0[/tex]
D'où [tex]u_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0[/tex]

On ne peut pas non plus toujours utiliser la même méthode ;)
++

jthessa · 16-11-2008 18:05:34

Merci à tout deux, yoshi et Barbichu, pour votre aide,

A moi de travailler pour m'approprier les réponses (sauf votre respect s'entend)

Peut-t-on d'une manière générale utiliser un éditeur LateX indépendant, rédiger tranquillement hors connexion , puis faire un copier-coller dans le message à transmettre ? Mais dans ce cas quelle distribution LateX installer sous vista ?
Mais peut-être ma démarche est-elle inintéressante ! Si ce n'est de profiter de l'occasion pour apprendre ce mode de rédaction ...
A bientôt

yoshi · 16-11-2008 19:47:59

Salut,

Apprendre LaTeX, pour rédiger des documents, pourquoi pas ?...
Cela dit, j'ai MikTeX installé avec TeXnicCenter : jamais réussi à produire une ligne de code et la visualiser et j'ai pourtant consulté des tutos : je ne dois pas être doué...
Mon compère Barbichu, lui, sait !

Bon, LaTeX pour LaTex et pour le Forum, voir :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943
puis http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX pour en savoir plus.
Et là tu tapes tranquillement ton message dans ton bloc-notes (suffisant), puis lorsque tu as fini, tu le colles dans ton message, cliques sur Prévisualisation et ... tu corriges tes fautes de frappe ;-))

Sinon, utilise l'Editeur d'équation de Fred, insère et prévisualise ensuite...

@+

jthessa · 19-11-2008 07:46:51

Merci yoshi,

Effectivement Latex exige une installation pas toujours simple sous vista et l'utilisation demande un bon appentissage.
J'ai pu me procurer MATHSTYPE_6 un éditeur d'équation assez performant pour Office_2003, je vais donc l'essayer dans un premier temps.

By, @+
jthessa

yoshi · 19-11-2008 10:00:55

Bonjour,

Aie ! Je m'en veux : je t'ai jeté dans les bras de PetitMou, ce qui n'était pas mon objectif...
Il est inutile de passer par Maths-Type ou un quelconque Editeur d'équations d'une quelconque suite bureautique, ça ne marchera pas sur un Forum...

Par contre, si tu veux rédiger chez toi, en n'ayant pas le Forum comme destination, alors tu peux très bien réaliser ce que tu veux avec l'Editeur d'OpenOffice.org (aussi bien qu'avec les autres) : si tu veux travailler totalement en mode graphique, une barre d'outils existe créée par un Prof de Maths, DMATHS.
http://www.dmaths.org/.

Le mieux est quand même dans ce cas, le couple MikTeX (par ex) et TeXnicCenter (l'éditeur de textes spécialisé)
Ce n'est pas l'installation qui m'a posé problème, c'est la suite, comment produire un document : je n'ai jamais réussi à démarrer et les tutos consultés passent les tout tout premiers pas sous silence : ça doit donc être évident...

@+

Barbichu · 19-11-2008 12:04:06

Hello,
yoshi et jthessa, voici un exemple de canevas de base pour un document \LaTeX à part entière :

\documentclass[11pt]{article}

\usepackage[latin1]{inputenc}

\usepackage[T1]{fontenc}

\title{Mon premier document}

\author{Barbichu}

\begin{document}

\maketitle

\section{Ma premiere section}

Je peux écrire ici

\section{Ma deuxième section}

Je peux écrire une formule mathématique, sur la même ligne que le texte, 

si je le veux, ce se fait avec les \$: $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. 

Puis je fais un retour forcé à la ligne par double anti-slashs. \\

J'écris une formule isolé avec \$\$ : $$f(x) = \frac{\sin x}{x}$$

\par Puis je peux écrire ce que je veux dans un nouveau paragraphe ...

\end{document}

Pour en savoir plus sur LaTeX, un lien que je trouve très bien : http://www.tuteurs.ens.fr/logiciels/latex/

NB : Le vrai latex est légèrement différent du LaTeX utilisé sur le forum.

++

Fred · 19-11-2008 13:28:09

Barbichu a écrit :

NB : Le vrai latex est légèrement différent du LaTeX utilisé sur le forum.

Peut-être plus maintenant, depuis qu'on a changé de méthode pour visualiser le Latex...

Fred.

Barbichu · 19-11-2008 16:49:46

Énorme !

Les \mathfrak, \textrm, \mapsto \pmatrix, cases et array marchent enfin !
Et il n'y a plus ces p*** de [?] qui apparaissent quand on met un espace en trop

[tex]\begin{array}{|c|c|}\hline\mathfrak{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ} & \textrm{hoho}\\ \hline x \mapsto f(x) & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\\\hline f(n)=\begin{cases} \frac n2, & \text{si }n\text{ est pair} \\ 3n+1 , & \text{si }n\text{ est impair} \end{cases} & \textrm{c'est super}\\\hline\end{array}[/tex]

Seul point noir restant (à ma connaissance) :

[tex]

[/tex]

donne :
[tex]
[/tex]

Mais c'est déjà bien.
++

Dernière modification par Barbichu (19-11-2008 16:57:18)

jthessa · 20-11-2008 08:16:58

Bonjour,

Merci pour ces précisions.

J'ai compris en visitant plusieurs sites que LateX, outre l'installation jamais très évidente avec Vista, exigeait un réel apprentissage pour une maîtrise courante.
Alors ... je vais remettre cela à plus tard, car mes cours de MPSI, "à distance", me mobilisent suffisamment , d'autant que je prépare en même temps une licence de langues orientales.

@+

Fred · 20-11-2008 22:03:04

Je ne vois pas de quoi tu veux parler Barbichu!!!!

[tex]\begin{array}{rcl}
1&2&3\\
2&4&5
\end{array}[/tex]

Bon, j'ai fait une petite modif entre temps!

Fred.

jthessa · 21-11-2008 10:29:41

Bonjour,

Quel est pour moi le sens de la réponse de Fred à Barbichu ?
1 2 3
1 4 5 ?

Fred · 21-11-2008 13:06:09

Salut,

C'est simplement que Barbichu se plaignait que quand on passait à la ligne
entre deux balises tex, il y avait des </br> qui apparaissaient.
J'ai fait une modification hier soir, et ce que j'ai fait affiché était juste un test pour prouver
que cela fonctionne effectivement.
Cela n'a rien à voir avec ton exo!

Fred.

jthessa · 21-11-2008 18:53:31

Ok,

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 15-11-2008 16:53:51

Encadrement et limite de suite [Résolu]

#2 15-11-2008 18:08:09

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#3 16-11-2008 10:29:25

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#4 16-11-2008 11:44:40

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#5 16-11-2008 12:41:17

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#6 16-11-2008 18:05:34

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