Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 29-10-2008 10:47:56
- tibo
- Membre expert
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- Messages : 1 097
th complexe
Bonjour,
voici deux questions extraites d'un DM auxquelles je galère:
soit [tex] th(z) = \frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}\ tel\ que\ z \in \mathbb{C}[/tex]
soit [tex]U=\begin{Bmatrix} \xi \in C \ /\ |\xi|<1 \end{Bmatrix}[/tex]
soit [tex]\Delta=\begin{Bmatrix} z \in \mathbb{C}\ /\ |Im(z)|<\frac{\pi}{4} \end{Bmatrix}[/tex]
1. résoudre [tex] \begin |Im(z)|<\frac{\pi}{2} \\ |th(z)|<1 [/tex]
2. montrer que th réalise une bijection de [tex]\Delta[/tex] sur U
pour la 1., j'ai fait des shema, mais qui ne m'apporte rien
et pour la 2., j'ai réussi à prouver l'inverse mais ça me parait bizar
Dernière modification par tibo (29-10-2008 10:49:47)
A quoi sert une hyperbole?
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#2 29-10-2008 11:22:11
- Barbichu
- Membre actif
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- Messages : 405
Re : th complexe
Hello,
pour 1. fait le calcul de [tex]|e^z + e^{-z}|^2 - |e^z - e^{-z}|^2[/tex]
pour 2. que veux-tu dire par "l'inverse" ? une bijection c'est dans les deux sens, mais de là a avoir inversé th.
Moi j'ai simplement résolu l'équation u = th(z) légèrement guidé par les intuitions que m'ont donné la première question.
++
Barbichu
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#3 29-10-2008 11:25:49
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 312
Re : th complexe
Voici un tuyau pour la première question :
[tex]|th(z)|<1\Longleftrightarrow \left|{e}^{z}-{e}^{-z}\right|<\left|{e}^{z}{+e}^{-z}\right|\Longleftrightarrow \left|1-{e}^{-2z}\right|<\left|1+{e}^{2z}\right|\Longleftrightarrow \mathcal{R}\left({e}^{-2z}\right)>0[/tex]
car un nombre complexe est plus proche de 1 que de -1 ssi sa partie réelle est positive.
Ca doit te permettre de conclure pour 1.
Pour 2., oui, détermine la réciproque (terme plus judicieux que l'inverse).
Fred.
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#4 29-10-2008 12:53:49
- tibo
- Membre expert
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- Messages : 1 097
Re : th complexe
oui j'avais déja trouvé cette expression, et on obtient Im(z)<pi/4 et Re(exp(-2z))>0
mais je ne vois pas comment conclure
quand je disais que j'avais démontré l'inverse, j'avais démontré que ce n'était pas bijectif. après relecture, je m suis apperçu de mon erreur
pour la réciproque, je trouve x=argth(y)=[ln(y+1)-ln(y-1)]/2
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#5 29-10-2008 13:17:37
- Barbichu
- Membre actif
- Inscription : 15-12-2007
- Messages : 405
Re : th complexe
Re,
on obtient Im(z)<pi/4
Ben c'est ça qui définit l'ensemble de solutions, pourquoi n'arrives-tu pas à conclure ?
(Si tu ne trouves vraiment pas, écris le calcul en entier)
pour la réciproque, je trouve x=argth(y)=[ln(y+1)-ln(y-1)]/2
Attention malheureux le logarithme n'a de sens que pour des réels strictement positifs !
=> arrête toi à [tex]\tanh(z)=u\;\Leftrightarrow\;e^{2z} = \frac{1+u}{1-u}[/tex] et tu pourras conclure sur la surjectivité en regardant le signe de la partie réelle de [tex]\frac{1+u}{1-u}[/tex]
=> pour l'injectivité, il suffit de remplacer u par th(w) (ou alors en invoquant simplement l'unicité de la forme polaire d'un complexe sous les bonnes conditions)
++
Dernière modification par Barbichu (29-10-2008 13:17:55)
Barbichu
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#7 30-10-2008 18:41:01
- Barbichu
- Membre actif
- Inscription : 15-12-2007
- Messages : 405
Re : th complexe
Re,
Tu as déterminé que [tex]\forall z \in \mathbb{C}\;\;\left(|\tanh(z)| < 1\,\wedge\,|\Im(z)|<\frac{\pi}{2}\right)\;\Leftrightarrow\;|\Im(z)|<\frac{\pi}{4}[/tex], n'est-ce pas ?
Alors tu dis que l'ensemble des solutions sur [tex]\{z\in\mathbb{C}/|\Im(z)|<\frac{\pi}{2}\}[/tex] de l'inéquation [tex]|\tanh(z)| < 1[/tex] est [tex]\{z\in\mathbb{C}/|\Im(z)|<\frac{\pi}{4}\}[/tex]
(NB : attention aux valeurs absolues, je ne sais pas si tu les as mises)
++
Barbichu
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#9 01-11-2008 10:08:28
- tibo
- Membre expert
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- Messages : 1 097
Re : th complexe
re,
décidement ce dm me donne du fils à retordre
autre question (du même dm)
soit [tex]U_n(\xi)=(1-th(n))\frac{1+\xi}{1-\xi th(n)}[/tex]
soit [tex]U_r= \begin{bmatrix} \xi \in \mathbb{C}\ /\ |\xi|\le r \end{bmatrix} [/tex]
montrer que la série [tex]\sum_{_{n\le 1}} |U_n|[/tex] converge uniformément sur Ur.
J'ai tout d'abord cherché la limite de la série, sans succés.
Puis j'ai essayé de majoré la série par une suite convergente vers 0, mais sans succés non plus. D'habitude je m'aide des intégrales mais dans C ça fonctionne pas.
Et enfin il n'y a pas convergence normale...
donc je pense que la seule méthode possible est de majorer mais je n'ai aucune idée par quoi.
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#10 01-11-2008 17:20:41
- Barbichu
- Membre actif
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- Messages : 405
Re : th complexe
Mmmh,
Pour r<1 ça marche : on peut majorer Un sur Ur par un équivalent de 2(1+r)e^-2n/(1-r)
Mais pour r>=1 ça ne marche plus : la série de tg Un(1) n'a aucune chance de converger (Un(1)=2), donc pas de convergence simple => tu peux abandonner la convergence uniforme ;)
++
Dernière modification par Barbichu (01-11-2008 17:23:01)
Barbichu
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