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#1 29-06-2026 08:30:17
- ZAHARIA
- Membre
- Inscription : 04-06-2026
- Messages : 3
Propriété décisive de la règle de calcul Collatz :
Propriété décisive de la règle de calcul Collatz : Tout nombre impair a un prédécesseur de la forme 8k+5
On sait que A = 8p+5 a le même successeur que B = 2p+1, à savoir 6p+4 et 3p+2.
Donc B a la même trajectoire que A, mais il n’est pas encore démontré que toutes les trajectoires convergent.
Ce qui rend la démonstration possible, c’est l’élément C = 8k+5, prédécesseur de 2p+1, qui a le même successeur que D = 2k +1.
(Note1 : formule de calcul)
D a donc la même trajectoire que A, B et C et ce calcul est infini car C devient le nouvel A.
Ce calcul produit une famille infinie d’entiers dont les trajectoires sont toutes prouvées convergentes.
Il n’existe aucune possibilité de calculer une trajectoire divergente.
Donc, la solution de la conjecture est-elle bien une propriété structurelle de la règle de calcul Collatz ?
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Processus explicatif
Appliquons la règle de calcul Collatz sur un nombre impair quelconque, 1007 par ex.
On obtient une trajectoire comportant les termes 8p+5 suivants :
5741, 5453, 2045, 7381, 173, 37, 13, 5
Pour chacun, le script Python effectue les calculs suivants :
Link to Python script
Python script-
- calculer B =2p+1 depuis A = 8p+5
- calculer C =8k+5 prédécesseur de 2p+1
-calculer D = 2k+1 depuis C = 8k+5
- Quand 2p+1 ou 2k+1 est de la forme 6r+3, il est remplacé par 24r+13, même Collatz successeur
- Appliquer la règle de calcul sur A, B, C et D :
les trajectoires B, C et D rejoignent toutes celle de A
- Répéter le processus pour le nombre de répétitions demandé en partant de C qui devient le nouvel A.
- Toutes les trajectoires obtenues rejoignent la première, celle de 5741 et sont enregistrées dans un fichier txt.
Le processus étant effectué sur les prochain 8p+5, - 5453, 2045, 7381,173, 37, 13 et 5 - chaque nombre obtenu produit une trajectoire qui rejoint celle de 5741 à tel ou tel niveau.
Lien vers fichier arbre Collatz 1007
arbre Collatz 1007
Quel que soit le nombre impair sur lequel est appliqué la règle de calcul, il est démontré par le diagramme des chemins modulaires que la trajectoire produite contient des termes 8p+5 sauf si elle atteint directement 1 par la répétition des divisions par 2 de 3n+1.
Lien vers diagramme des chemins modulaires
Diagramme chemins modulaires
Quel que soit le nombre impair sur lequel est appliqué la règle de calcul, les nouvelles trajectoires rejoignent la première.
Le processus n’a pas de fin, il est seulement limité par le nombre de répétitions demandé.
Il n’existe aucun moyen d’obtenir une trajectoire divergente.
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Note 1 : calcul de C = 8k+5, prédécesseur de B = 2p+1
Par une formule mod 3, B admet un prédécesseur explicite C = 8k+5 :
Si B mod 3 = 1 : C = ((2B-2)/3) x 8 + 5
Si B mod 3 = 2 : C = ((B-2)/3) x 8 + 5
Si B mod 3 = 0, il est de la forme 6s+3 et il est remplacé par 24s+13 (même successeur)
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Dernière modification par ZAHARIA (29-06-2026 13:36:49)
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