Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ElMathador

Membre

Inscription : 17-02-2023

Messages : 17

Théorème Taubérien de Karamata

Bonjour,

j'ai le sentiment qu'il y a une erreur avec le théorème suivant : je suis un peu confus entre le passage à la limite avec les lambdas et les t.

Quelqu'un peut il le vérifier ?

Merci.

[tex]

        On suppose que $\mu$ est une mesure positive sur $[0,+\infty)$ et que
        $\alpha \in (0,+\infty)$. On suppose que
        \begin{align*}
            \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} \, d\mu(x)
            \sim a \, t^{-\alpha}
            \quad \text{lorsque } t \to 0^{+}.
        \end{align*}
        Alors on a
        \begin{align*}
            \int_{0}^{\lambda} d\mu(x)
            \sim \frac{a}{\Gamma(\alpha+1)} \, \lambda^{\alpha}
            \quad \text{lorsque } \lambda \to +\infty.
        \end{align*}

        On d\'efinit, pour tout $t>0$, une mesure $\mu_t$ sur $\mathbb{R}_{+}$ par
        \begin{align*}
            \mu_t(A)
            :=
            t^{\alpha}\,\mu(t^{-1}A),
            \quad A \subset \mathbb{R}_{+}.
        \end{align*}

        Si $\chi_A$ d\'esigne la fonction indicatrice d’un ensemble $A \subset \mathbb{R}_{+}$,
        on a par d\'efinition
        \begin{align*}
            \int \chi_A(\lambda)\, d\mu_t(\lambda)
            =
            t^{\alpha}
            \int \chi_A(t\lambda)\, d\mu(\lambda).
        \end{align*}
        Il en r\'esulte que pour toute fonction $f \in L^{2}(\mathbb{R}_{+})$,
        \begin{align*}
            \int f(\lambda)\, d\mu_t(\lambda)
            =
            t^{\alpha}
            \int f(t\lambda)\, d\mu(\lambda).
        \end{align*}
        En particulier,
        \begin{align*}
            \lim_{t\to+\infty}
            \int e^{-\lambda}\, d\mu_t(\lambda)
            =
            \lim_{t\to+\infty}
            t^{\alpha}
            \int e^{-t\lambda}\, d\mu(\lambda)
            =
            a.
        \end{align*}

        Par d\'efinition de la fonction Gamma, on a
        \begin{align*}
            \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}
            \int_{0}^{+\infty}
            e^{-\lambda}\,
            \alpha \lambda^{\alpha-1}\, d\lambda
            =
            1.
        \end{align*}
        On d\'efinit donc la mesure $\nu$ par
        \begin{align*}
            d\nu(\lambda)
            :=
            \alpha \lambda^{\alpha-1}\, d\lambda,
        \end{align*}
        et l’on obtient
        \begin{align*}
            \lim_{t\to+\infty}
            \int e^{-\lambda}\, d\mu_t(\lambda)
            =
            \frac{a}{\Gamma(\alpha+1)}
            \int e^{-\lambda}\, d\nu(\lambda).
        \end{align*}

        Consid\'erons l’espace
        \begin{align*}
            \mathcal{B}
            :=
            \mathrm{Vect}\bigl\{
                g_s : \mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}_{+},
                \ g_s(\lambda)=e^{-s\lambda},
                \ s>0
            \bigr\}.
        \end{align*}
        Un changement de variable montre que, pour tout $h\in\mathcal{B}$,
        \begin{align*}
            \lim_{t\to+\infty}
            \int h(\lambda)\, d\mu_t(\lambda)
            =
            \frac{a}{\Gamma(\alpha+1)}
            \int h(\lambda)\, d\nu(\lambda).
        \end{align*}

        Par le th\'eor\`eme de Stone--Weierstrass pour les espaces localement compacts,
        $\mathcal{B}$ est dense dans
        \begin{align*}
            C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}_{+})
            :=
            \bigl\{
                f\in C^{\infty}(\mathbb{R}_{+})
                \mid
                f(\lambda)\to 0 \text{ lorsque } \lambda\to+\infty
            \bigr\}.
        \end{align*}
        Soit $f\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}_{+})$.
        Comme $f(\lambda)e^{\lambda}\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}_{+})$,
        il existe une suite $(h_j)_{j\ge 1}\subset C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}_{+})$
        telle que
        \begin{align*}
            h_j \xrightarrow[j\to+\infty]{} e^{\lambda}f(\lambda).
        \end{align*}
        Pour tout $j$, on a alors
        \begin{align*}
            \lim_{t\to+\infty}
            \int h_j(\lambda)e^{-\lambda}\, d\mu_t(\lambda)
            =
            \frac{a}{\Gamma(\alpha+1)}
            \int h_j(\lambda)e^{-\lambda}\, d\nu(\lambda).
        \end{align*}

        Le passage \`a la limite lorsque $j\to+\infty$ est justifi\'e par le fait que,
        d’apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, les mesures $e^{-\lambda}d\mu_t$ sont uniform\'ement born\'ees.
        On obtient ainsi
        \begin{align*}
            \lim_{t\to+\infty}
            \int f(\lambda)\, d\mu_t(\lambda)
            =
            \frac{a}{\Gamma(\alpha+1)}
            \int f(\lambda)\, d\nu(\lambda).
        \end{align*}

        En particulier, cette \'egalit\'e vaut pour $f=\chi_{[0,1]}$.
        Or, par d\'efinition des mesures $\mu_t$ et $\nu$,
        \begin{align*}
            \lim_{t\to+\infty}
            \int \chi_{[0,1]}(\lambda)\, d\mu_t(\lambda)
            =
            \frac{a}{\Gamma(\alpha+1)}
            \int \chi_{[0,1]}(\lambda)\, d\nu(\lambda),
        \end{align*}
        ce qui est \'equivalent \`a la conclusion du th\'eor\`eme.

[/tex]