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gebrane

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Equivalent d'une suite

Pour s'amuser
Soit la suite $u$ définie par : Pour tout $n\in \mathbb N$,

$$u_{n+2} = \frac{p}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_k$$

avec $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$ et $p$ un réel strictement positif

Montrer que
$$u_n \sim \frac{e^{-p}}{\Gamma(p)} \, n^{p-1}$$

où $\Gamma$ est la fonction gamma d'Euler.

gebrane

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Re : Equivalent d'une suite

Si ce n'est pas évident, commencer par les cas $p=2$ ou $p=1/2$

Glozi

Invité

Re : Equivalent d'une suite

Bonjour,
Je n'ai pas la solution complète mais quelques pistes :

▼pistes

On réécrit la relation :
$u_{n+2}=\frac{n}{n+1}u_{n+1}+\frac{1}{n+1}pu_n.$
Cela montre que $u_{n+2}$ est une moyenne (pondérée par $\frac{n}{n+1}$ et $\frac{1}{n+1}$) de $u_{n+1}$ et $pu_n$.
Si $p=1$, alors $u_{n+2}$ est une moyenne entre $u_{n+1}$ et $u_n$ cela montre déjà que $u$ sera bornée entre $u_0=0$ et $u_1=1$. Plus précisément, dans le cas $p=1$ on a $u_{n+2}-u_{n+1}=-\frac{1}{n+1}(u_{n+1}-u_n).$
On en déduit par un premier télescopage que $u_{n+1}-u_n=\frac{(-1)^n}{n!}$ puis par un deuxième télescopage que $u_n$ converge vers $e^{-1}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

Si $p>1$, alors $pu_n>u_n$ donc on se doute que $u_n$ doit avoir tendance à grandir ($u_{n+2}$ est une moyenne entre $u_{n+1}$ et un truc plus grand que $u_n$).
On peut montrer que $u_n$ tend vers l'infini. Clairement la formule $u_{n+2}=\frac{n}{n+1}u_{n+1} +\frac{pu_n}{n+1}$montre dans le cas $p>1$ que $u_{n+2}\geq \min(u_n,u_{n+1})$. Ce qui implique que la suite $v_n = \min(u_n, u_{n+1})$ est une suite croissante, elle converge donc vers un $\ell\in \mathbb{R}\cup\{\infty\}$, alors en écrivant $u_{n+2}\geq \frac{p}{n+1}\sum_{k=0}^{n/2} 2v_{2k}$ on trouve par Césaro que $\ell\geq p\ell$ et donc $\ell=\infty$. Ce même argument montre que $u_n$ tend aussi vers $+\infty$.

On a ensuite
$$\frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}=\frac{n}{n+1}(1+\frac{u_n}{\sum_{k=0}^{n-1}u_k}).$$
Or $\frac{u_n}{\sum_{k=0}^{n-1}u_k}\leq \frac{u_n}{\sum_{k=0}^{n-2}u_k}=O(\frac{1}{n})$.

Ceci montre que $u_{n+2}\sim_{n\to \infty} u_{n+1}$.

Mieux : on a $\ln(\frac{u_{n+1}}{u_n})=\ln(\frac{n}{n+1})+\ln(1+\frac{u_n}{\sum_{k=0}^{n-1}u_k})$
En faisant des développements limités et en utilisant $\frac{\sum_{k=0}^{n-1}u_k}{u_n}=\frac{n-1}{p}+O(1)$ on aboutit à
$$\ln(\frac{u_{n+2}}{u_{n+1}})=\frac{p-1}{n}+O(\frac{1}{n^2}).$$
En prenant l'exponentielle et en multipliant ces équivalents on trouve une certaine constante $C>0$ telle que
$$u_n \sim Ce^{\ln(n)(p-1)}\sim Cn^{p-1}.$$

J'imagine que si on réintroduit cet équivalent alors en refaisant des meilleurs DL on peut peut-être avoir accès à la constante $C$ mais j'ai la flemme de le faire.

J'imagine aussi que ce que j'ai dit marche aussi pour $p<1$ mais je n'ai pas vérifié.

Bonne journée

perroquet

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Re : Equivalent d'une suite

Bonjour.

Voici un résumé de ma solution.
Il s’agissait de trouver un équivalent de la suite [tex](u_n)[/tex] définie par

[tex]u_0=0[/tex]   ,   [tex]u_1=1[/tex]   ,   [tex]\displaystyle u_{n+2}=\dfrac{p}{n+1}\sum_{k=0}^{n}u_k[/tex]

Première idée:
Je cherche d’abord un équivalent de [tex]s_n= \displaystyle \sum_{k=0}^{n}u_k [/tex], cette suite étant définie par:
[tex]s_0=0[/tex]  ,   [tex]s_1=1[/tex]   ,    [tex]s_{n+2}-s_{n+1}=\dfrac{p}{n+1}s_n[/tex]

Deuxième idée:
Trouver l’expression de [tex]f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} s_n x^n[/tex].
[tex]f[/tex] est solution de l’équation différentielle
[tex](x-x^2)y’=(px^2+1)y[/tex]    ,      [tex]y(0)=0[/tex]     ,        [tex]y’(0)=1[/tex]
On trouve :   [tex]f(x)=\dfrac{xe^{-px}}{(1-x)^{p+1}}[/tex]

Troisième idée :
[tex]\dfrac{1}{(1-x)^{p+1}}= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \alpha_nx^n[/tex]   avec. [tex]\alpha_0=1[/tex]   ,     [tex]\alpha_n =\dfrac{(p+1)\ldots (p+n)}{n!}[/tex]

[tex]s_{n+1}=\displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{(-p)^k}{k!}\alpha_{n-k}    [/tex]

Il est bien connu que :  [tex]\Gamma(p) = \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{n! n^p}{p(p+1) \ldots (p+n)}[/tex]

On en déduit que :   [tex]\alpha_n \sim \dfrac{n^p}{p\Gamma(p)}[/tex]

Il n’est pas trop difficile alors de montrer que :   [tex]s_{n+1} \sim \dfrac{n^p}{p\Gamma(p)}e^{-p}[/tex]

Et, ensuite :  [tex]u_n =\dfrac{p}{n-1}s_{n-2} \sim \dfrac{n^{p-1}}{\Gamma(p)}e^{-p}[/tex]

gebrane

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Re : Equivalent d'une suite

Bravo perroquet
Une preuve brillante.
J'avais l'intention de poser cette question au jour 23 de l'avent IV https://les-mathematiques.net/vanilla/d … l-avent-iv