Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jelobreuil

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un développement décimal curieux

Bonsoir à tous,
J'ai été amené à calculer le nombre suivant : (625/196) + (961/4900) - (601/25) et la calculatrice de mon ordinateur me donne le résultat :
-20,655102040816326530612244897959.
J'y reconnais, à partir de "02", la suite des puissances de 2,  "concaténée avec addition reportée de deux rangs" (ce n'est certainement pas la description exacte, mais je l'avoue, je ne sais pas comment la décrire)  :
02040816326530612244897959
                   64
                    128
                       256
                           512
                             1024
                                2048
                                    4096
Comment expliquer ce phénomène ? Qu'est-ce que cela indique sur le nombre résultat de ce calcul ? Je précise que ce nombre est égal à -10121/490, et que 10121 n'est pas premier ...
Merci de votre intérêt pour cette petite chose !
Bien amicalement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (02-12-2025 19:14:06)

Rescassol

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Re : un développement décimal curieux

Bonsoir,

Tu peux déjà simplifier ton nombre en $-\dfrac{10121}{490}$.
Puis essayer de l'écrire au moyen de la somme d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ par exemple

Cordialement,
Rescassol

jelobreuil

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Re : un développement décimal curieux

Bonsoir, Rescassol, et merci !
ton message et ma modification sont presque synchrones !
Le fait est que 10121 est un nombre semi-premier : 10121 = 29x349, soit 29(350 - 1), donc 29(7x50) -29, à rapprocher de 490 = 10(50 - 1) ?
Ou encore 10121 = 29(5x70) - 29, à rapprocher de 490 = 7x70 ?
Et je ne connais pas du tout la technique que tu me proposes...
Bon, pour moi, ce n'est qu'une curiosité, mais dont j'aimerais bien savoir le fin mot, quand même...
Bien amicalement, JLB

yoshi

Modo Ferox

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Re : un développement décimal curieux

Bonjour,

@JLB
Si tu veux un alignement vertical satisfaisant, utilise la balise code retouchée par Fred [ code=crypto] sans l'espace :

02040816326530612244897959
          64
           128
             256
               512
                 1024
                   2048
                     4096

/!\ à l'écriture "simple", tu ne constateras rien, il te faudra faire des AR avec la prévisualisation (ou peut-être compter les caractère, mais jamais encore essayé ça)
J'ai fait une tentative mais ça ne doit pas être correct, parce que je n'ai pas compris qui était en dessous de qui, dans ton post...
En outre le module decimal de Python et sa classe Decimal de te permettent de choisir ton nombre de chiffres décimaux : voilà le résultat du quotient de 10121 par 490 avec 100 décimales

from decimal import Decimal as D,getcontext

getcontext().prec=100
print(D(10121)/D(490))
 

Sortie :

20.65510204081632653061224489795918367346938775510204081632653061224489795918367346938775510204081633

J'ai souvent utilisé cette fonctionnalité, notamment pour calculer la valeur du nombre d'or avec 20000 décimales  (via le calcul de $\sqrt 5$ en adaptant la méthode de Heron d'Alexandrie) : ça va très vite...
Puis, un jour, suite à un exo soumis, j'ai pu adapter le calcul de la racine carrée de Heron,  à celui d'une racine cubique...
Et ça me sert à quoi ? demanderez-vous...
Bin... à rien, sinon à me procurer une certaine satisfaction intellectuelle !

@+

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Ernst

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Re : un développement décimal curieux

Merci de votre intérêt pour cette petite chose !

Bonjour,

Ah oui, tout à fait surprenant. Après le 655 on trouve bien un 1 02 04 08 16 32 … Le 64 va passer à 65 à cause de la retenue du 128 qui suit, j’ai donc voulu en avoir le cœur net, j'ai itéré les puissances de 2 en décimales avec décalage :
0.01
0.0102
0.010204
0.01020408
0.0102040816
0.010204081632
0.01020408163264
0.0102040816326528
0.010204081632653056
0.01020408163265306112
0.0102040816326530612224
0.010204081632653061224448
0.01020408163265306122448896
0.0102040816326530612244897792
0.010204081632653061224489795584
0.01020408163265306122448979591168
0.0102040816326530612244897959182336
0.010204081632653061224489795918364672
0.01020408163265306122448979591836729344
0.0102040816326530612244897959183673458688
0.010204081632653061224489795918367346917376
0.01020408163265306122448979591836734693834752
0.0102040816326530612244897959183673469387669504
0.010204081632653061224489795918367346938775339008
0.01020408163265306122448979591836734693877550678016
0.0102040816326530612244897959183673469387755101356032
0.010204081632653061224489795918367346938775510202712064
0.01020408163265306122448979591836734693877551020405424128
0.0102040816326530612244897959183673469387755102040810848256
0.010204081632653061224489795918367346938775510204081621696512
0.01020408163265306122448979591836734693877551020408163243393024
0.0102040816326530612244897959183673469387755102040816326486786048
0.010204081632653061224489795918367346938775510204081632652973572096
0.01020408163265306122448979591836734693877551020408163265305947144192
0.0102040816326530612244897959183673469387755102040816326530611894288384
0.010204081632653061224489795918367346938775510204081632653061223788576768
0.01020408163265306122448979591836734693877551020408163265306122447577153536
0.0102040816326530612244897959183673469387755102040816326530612244895154307072
0.010204081632653061224489795918367346938775510204081632653061224489790308614144
...

D'une part on retrouve exactement les mêmes décimales, d'autre part on observe un cycle
...551020408163265306122448979591836734693877...

Glozi

Invité

Re : un développement décimal curieux

Bonjour,
Il y a bien une raison mathématique derrière tout ça (pas très compliquée et même plutôt accessible). En tout cas je suis assez admiratif de l’œil de Jelobreuil qui a réussi a repérer ce pattern sans s'y attendre.
En plus de la réponse de Rescassol, je donne quelques indices qui amènent à une explication mathématique.

▼indice 1

Ce qui compte dans la fraction $-\frac{10121}{490}$ est surtout le dénominateur.
Regarder par exemple $\frac{1}{98}$

▼indice 1 et demi

On dit qu'un nombre $x$ vérifie la propriété $\mathcal{P}$ si à partir d'un certain rang ses décimales font apparaître des puissances de $2$ successives comme observé par Jelobreuil.

On va réduire le problème de pourquoi $\frac{10121}{490}$ possède la propriété $\mathcal{P}$ à comprendre pourquoi est-ce que $\frac{1}{98}$ possède lui aussi la même propriété $\mathcal{P}$.

Démontrer que si un nombre $x$ vérifie cette propriété $\mathcal{P}$, alors en multipliant ou en divisant ce nombre par $2$ ou $5$ ou $10$ alors on obtient un nombre qui a la même propriété $\mathcal{P}$.

Démontrer que si un nombre $x$ vérifie cette propriété $\mathcal{P}$, alors en lui ajoutant un nombre décimal (qui a un nombre fini de chiffres après la virgule) alors on obtient un nombre qui a la même propriété $\mathcal{P}$.

En déduire que $\frac{10121}{490}$ a la propriété $\mathcal{P}$ si et seulement si $\frac{1}{98}$ l'a aussi.

▼indice 2

Regarder $\frac{1}{98}$, $\frac{1}{998}$, $\frac{1}{9998}$, $\frac{1}{997}$ et autres nombres similaires.

▼indice 3

L'idée mathématique a déjà été donnée par Rescassol. Je donne la formule magique :
Si $x$ est un nombre entre $-1$ et $1$ (avec $1$ et $-1$ exclus) alors
$$1+x+x^2+x^3+\dots = \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}.$$
Trouver le bon $x$ sur lequel appliquer cet formule...

▼indice 4

Regardons ce que vaut $\frac{1}{98}=0.010204081632\dots$
Combien de centièmes (combien de fois $10^{-2}$) ?
Combien de dix-millièmes (combien de fois $10^{-4}$) ?
Combien de millionièmes (combien de fois $10^{-6}$) ?
Combien de cent-millionièmes (combien de fois $10^{-8}$) ?
etc...
Combien de fois $10^{-2n}$ ?

Bonne journée

jelobreuil

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Re : un développement décimal curieux

Bonsoir à tous,
Merci, Yoshi, de ces explications détaillées !
Merci ,Ernst et Glozi, de vos développements et indications très intéressantes !   
Mais ce n'était pas bien sorcier de deviner, après avoir vu la suite 02, 04, 08, 16 et 32, que le 65 était le 64 plus le "1" de 128, le 30 ce 28 plus le "2" de 256, et la suite itou... J'ai d'ailleurs essayé avec un autre semi-premier, 6331 = 19x349 et le résultat de la division par 490 est le suivant :
13,5326530612244897... où l'on voit apparaître, dans la même disposition, la suite de nombres 3x2^n !
C'est vraiment une curiosité numérique...
Bien amicalement, JLB
Edit : Je commençais à m'en douter : 1/49 = ?
Où l'on voit que 7 est décidément un nombre à surprises...

Dernière modification par jelobreuil (03-12-2025 22:47:23)