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Alice87

Invité

Théorie des distributions et EDP.

Bonsoir,

Dans certains cours de théorie des EDP, on se ramène parfois à résoudre, au sens des distributions, l'équation :
[tex]\partial_t F + A(D_x) F = S + \delta_{t=0} \otimes f^{in}[/tex], dans, [tex]\mathcal{S} ' ( \mathbb{R}_{t} \times \mathbb{R}^N )[/tex],
[tex]\mathrm{supp} (F) \subset \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}^N[/tex].
où,
- [tex]S \in \mathcal{E} ' ( \mathbb{R}_{+}^* \times \mathbb{R}^N )[/tex] est une distribution à support compact.
- [tex]f^{in} \in \mathcal{E} ' ( \mathbb{R}_x^N )[/tex] est une distribution à support compact.

Pouvez vous m'expliquer ce que signifie l'objet,  [tex]\delta_{t=0} \otimes f^{in}[/tex], dans le cas où,
- [tex]f^{in} \in \mathcal{E} ' ( \mathbb{R}_x^N )[/tex] est une distribution à support compact.
- [tex]f^{in} \in L_\mathrm{loc}^1 ( \mathbb{R}_x^N )[/tex] est une distribution à support compact.
?

Merci d'avance.

Roro

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Messages : 1 798

Re : Théorie des distributions et EDP.

Bonsoir,

Je dirai que lorsque $f_{in}\in \mathcal E'(\mathbb R^N)$, pour $\varphi\in \mathcal C^\infty_0(\mathbb R_+ \times \mathbb R^N)$,

$$\langle \delta_{t=0} \otimes f_{in}, \varphi \rangle = \langle  f_{in}, \varphi(0,\cdot) \rangle_{\mathcal E',\mathcal E}$$

et que lorsque $f_{in}\in L^1_{loc}(\mathbb R^N)$, pour $\varphi\in \mathcal C^\infty_0(\mathbb R_+ \times \mathbb R^N)$,

$$\langle \delta_{t=0} \otimes f_{in}, \varphi \rangle = \int_{\mathbb R^N} f_{in}(x) \varphi(0,x) \, \mathrm dx.$$

Roro.

Dernière modification par Roro (23-11-2025 21:30:45)