un double puzzle en 4 pièces

jpp · 13-11-2025 12:07:31

Salut ;

Ce triangle n'est pas équilatéral , c'est un 13 , 14 & 15 (longueurs de ses côtés) .
A la règle non graduée et au compas on doit le découper en quatre morceaux afin de reconstituer un carré .

Bon courage .

Bernard-maths · 15-11-2025 09:38:36

Bonjour à tous !
Bonjour jpp !

Ton problème étant trop difficile pour moi, je me suis fait aider par ma grand-mère.

Elle m'a dit "facile ton truc, donne moi des ciseaux" ... et voilà ce qu'elle a fait :

Finalement vous avez bien un carré ... de Mémère !

B-m

jpp · 16-11-2025 11:36:20

Salut ;

@Bernard-maths et les autres

▼Si ça peut aider

Bernard-maths · 17-11-2025 16:09:18

Bonjour à tous !

J'ai un programme GeoGebra pour fabriquer un puzzle triangle carré, avec presque n'importe quel triangle ...

Il faut que je puisse le transmettre : mais avec quel site autre que cjoint ???

Et puis je n'ai pas encore complètement formalisé la construction demandée par jpp !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (17-11-2025 18:32:37)

Bernard-maths · 17-11-2025 18:12:31

Bonsoir ...

Je tente un début de cogitation :

.
Sur cette figure on voit B(0,0), C(39,0) et le point A(7,24) environ. "On voit bien que" les parties rouges et bleues sont symétriques par rapport aux milieux des côtés [AB] et [AC], disons D et E.

Il faut placer le point F au bon endroit sur [BC] pour ensuite construire le carré KLMN ...

Si on trace les deux cercles de centres D et E, passant par A, on voit qu'ils se recoupent en A' (7,0) sur [BC] apparemment ...
On vérifie alors que les deux triangles ABA' et ACA' sont rectangles en A', et donc que A est bien en (7,24).

En promenant F sur [BC] je me suis arrêté quand j'ai le carré KLMN. Alors j'ai constaté que F(5,0).

ALORS ayant constaté tout cela, comment faire le tracé du carré en partant du triangle ABC avec les côtés de longueurs données ?

Il faut d'abord placer F sachant que bf = 5. On va diviser le côté [AC] en 8 avec la compas, on aura la longueur 5 et donc le point F !

APRèS ??? Les choses sont simples ET je vous laisse continuer pour vous amuser un peu !!!

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (17-11-2025 18:21:53)

jpp · 18-11-2025 10:27:06

Salut ;

@Bernard-maths : Et avec un triangle quelconque , tu fais comment ? . Sans mesurer ; juste reporter des longueurs .

c'est le but de la construction . Les points ne sont pas forcément à coordonnées entières .

Bernard-maths · 20-11-2025 08:53:52

Bonjour à tous !
Bonjour jpp !

Ben non j'ai pas trouvé ... j'ai juste fait un programme qui fonctionne pour tout triangle, triangle qui peut se découper, car certains ne peuvent pas ...

Alors on attend un autre coup de pouce ... (;-)

B-m

Imod · 20-11-2025 17:52:51

Bonjour Jpp et Bernard

Je découvre le problème et j'ai quelques idées en tête , on peut attendre avant le coup de pouce ?

Imod

Imod · 20-11-2025 18:44:07

Je n'ai pas compris comment illustrer sur ce site , j'explique mon idée en reprenant les notations de Bernard. Je note I et J les milieux de [AB] et [AC] . Il est facile de construire à la règle et au compas le côté c du carré . A partir de là on peut construire le point K sur le cercle de diamètre [IJ] avec IK=c/2 , le reste de la construction suit .
Imod

Bernard-maths · 21-11-2025 07:55:39

Bonjour Imod !

"Il est facile de construire à la règle et au compas le côté c du carré . ", dis-tu ...

Je ne vois pas !!! Désolé, je suis bouché ... (:-)

Après je sais que c'est facile.

B-m

Imod · 21-11-2025 08:48:36

Disons que la construction est classique .

Il est facile de construire un rectangle ABCD qui a la même aire que le triangle . On complète la figure en collant un carré CDEF extérieurement au rectangle . La demi-droite [DC) coupe le cercle de diamètre [AE] en G . DG est le côté du carré qui a la même aire que ABCD .
Imod

Bernard-maths · 21-11-2025 09:39:19

Bonjour Imod !

Elémentaire ;;; ou presque, j'avais oublié ... et je cherchais une transformation par double affinité ...

Pour passer une image sur le site, tu peux te connecter à zupimages.net

Tu demandes à héberger une image (jpeg par ex), puis tu valides et tu copies la 3ème adresse, que tu colles ensuite sur Bibmath.

Comme celle qui suit tes explications ... je ne dis pas tout, pour ceux qui cherchent encore ... mais la figure est parlante.

Pour le moment pb de net !!! Je reprends après ... ça y est, ça fonctionne à nouveau !!!

J'ai renommé le triangle de départ PQR, pour faire le rectangle ABCD ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (21-11-2025 10:44:22)

Imod · 21-11-2025 10:45:54

C'est ça , après il faut placer le point K puis finir comme sur ton dessin #5 . Il est difficile de tout faire figurer sur un seul dessin car la figure devient vite chargée .

Merci pour le lien permettant de joindre une image , je teste avec la question initiale dès que j'ai un peu de temps . Le dessin est alors plus facile car on obtient directement IK en dessinant un triangle rectangle de côtés [tex]2,5,\sqrt{21}[/tex].
Imod

Imod · 21-11-2025 11:44:00

Test d'image :

Imod

Bernard-maths · 22-11-2025 12:26:20

Bonjour à tous !

Alors, que pense jpp ?

On finalise ou on te laisse faire ? (:-)

B-m

Imod · 22-11-2025 18:19:43

Il est clair qu'il reste des choses à dire , par exemple que ce découpage n'est pas toujours possible ou qu'il peut parfois se décliner en plusieurs versions en changeant de base . D'autre part , même si aucune base ne convient pour ce découpage , cela signifie-t-il forcément qu'alors aucun découpage en quatre parts n'est possible ?

Il serait déjà bien de donner une condition nécessaire et suffisante pour que ce découpage s'appuyant sur la base [BC] soit possible .
Imod

Imod · 23-11-2025 11:27:26

J’ai commencé à regarder les limites de validité de la construction quand la base est [BC] , cette limite est atteinte quand K et F sont confondus . Je note 2a, 2b , 2c les côtés du triangle , 2h la hauteur issue de A et 2x le côté du carré .
Voilà la figure qu’on obtient :

Il semblerait ( sans preuve ) que le centre du cercle soit aligné avec M et N .
A suivre donc …
Imod

jpp · 24-11-2025 11:22:00

Salut à tous ;

Je vous joins ma construction avec le minimum de traçage .

M & N : milieux de AB & AC . MN est donc la demi base et AH : la hauteur correspondante .

Sur la droite (MN) je trace NH' = AH puis le demi cercle de diamètre MH' ; puis la demi corde NP où N est le projeté de P sur le diamètre MH'.

Dans ce cas : [tex]NP = \sqrt{MN \times NH'}[/tex]

NP' = NP , côté du carré . Par construction , les deux triangles MNO' & P'O"Q sont isométriques ; donc MO' = O"Q .

Concernant les triangles obtusangles , ça marche encore jusqu'à une certaine configuration , mais je n'ai pas encore creusé .

Bernard-maths · 24-11-2025 13:37:32

Bonjour à tous !
Bonjour jpp !

On retrouve ce qu'on a trouvé peu à peu, mais en "pas mal du tout", merci.

Si le triangle a trois angles distincts alors il y a trois constructions différentes possibles ...

Si un angle est obtus alors au dessus d'un certain degré, plus de construction possible ... d'après mes essais graphiques ...

Voilà pour le moment ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (24-11-2025 13:38:11)

Imod · 24-11-2025 16:39:59

Je ne suis pas sûr qu'il faille faire distinction entre angles aigus et obtus . Il me semble que si on note h la hauteur relative au côté a , la construction s'appuyant sur a est possible si et seulement si [tex]2a \leq 5h[/tex] ou encore [tex]a^2\leq 5A[/tex] .
Imod

Imod · 24-11-2025 17:58:00

Une illustration de la partie intéressante :

Imod

Bernard-maths · 25-11-2025 13:57:36

Hello !

Donc si le cercle de diamètre [IJ] s'amuse avec (PQ) ... ?

B-m

Imod · 25-11-2025 17:09:13

Tu as raison , la condition est nécessaire mais pas suffisante , le problème a encore des choses à dire :)
Imod

Imod · 27-11-2025 17:57:33

Apparemment tout le monde a laissé tomber le problème , personnellement j’aime bien laisser reposer quand je n’ai plus d’idées . Je suis revenu sur le rapport a/h . En faisant varier ce rapport sur la ligne (IJ) , on peut alors voir la limite de la construction s’appuyant sur le côté [BC] . La position extrême est atteinte quand l’angle B ou C est égal à Arctan(1/2)+90° soit environ 116,565° . Je n’ai pas encore regardé si cette condition était suffisante .
Imod

Bernard-maths · 27-11-2025 20:32:05

Bonsoir à tous !

Je suis très pris par une demi-douzaine de lapins qui courent dans tous les sens !

Alors je suis, mais je n'ai pas d'idée non plus ...

Faut reste cool ...

B-m

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un double puzzle en 4 pièces

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