Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Marouantbl

Invité

domaine de définition / sous domaine de définition

Saluuut ,

J'ai une définition dans mon cours mais je veux j'aimerais la réponse à une qst question qui va m'aider à comprendre :
Quand on dit "Soit f une fonction définie sur un ensemble A" , est ce que nécessairement Df=A ou bien l'ensemble A est inclus dans Df ??

Mercciiii

Dernière modification par yoshi (24-09-2025 20:21:18)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : domaine de définition / sous domaine de définition

Bonsoir,

Pour moi Df=A car une fonction c'est un triplet constitué d'un ensemble de départ A, d'un ensemble d'arrivée B et d'un graphe fonctionnel G.
La fonction f peut être la restriction d'une fonction f' par restriction de l'ensemble sur lequel elle opère.
f et f' sont distinctes.
Par exemple la fonction f= id sur $\mathbb{R}$ est la restriction de la fonction f' définie sur $\mathbb{C}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ qui à a+ib associe a+b.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : domaine de définition / sous domaine de définition

Bonjour,
Tu fais référence à une définition de ton cours. Peux-tu la donner complètement ? Il est malaisé de commenter une expression sortie de son contexte.

Marouantbl

Invité

Re : domaine de définition / sous domaine de définition

Bonsoir,

Pour moi Df=A car une fonction c'est un triplet constitué d'un ensemble de départ A, d'un ensemble d'arrivée B et d'un graphe fonctionnel G.
La fonction f peut être la restriction d'une fonction f' par restriction de l'ensemble sur lequel elle opère.
f et f' sont distinctes.
Par exemple la fonction f= id sur $\mathbb{R}$ est la restriction de la fonction f' définie sur $\mathbb{C}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ qui à a+ib associe a+b.

f est la restrection de f' , est ce qu'ils ont le meme domaine de définition ?? est ce que oujours la fonction et sa réciproque ont le meme Df ??

Merci

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : domaine de définition / sous domaine de définition

Bonjour,

Comme te l'a demandé Michel Coste, il est préférable de détailler ce que dit ton cours.

Les notions d'ensemble de départ et d'ensemble de définition coïncident lorsqu'on ne fait pas de distinction entre celles de fonction et d'application, ce qui l'usage habituel je pense aujourd'hui.

Mais on peut parfois considérer un ensemble où certains éléments n'ont pas d'image, les autres une image unique dans un ensemble d'arrivée donné.

Par exemple, si on accepte de faire la différence entre fonction et application, on dira:
Soit sur l'ensemble des réels la "fonction" inverse.
Il y aurait  une piraterie si on parlait d'application car 0 n'a pas d'inverse.
On dira alors que l'ensemble de définition de cette fonction est l'ensemble des réels non nuls, en somme c'est le plus grand sous-ensemble dans lequel chaque élément a effectivement une image (unique) par la fonction.
On a bien une application. Quel est son ensemble de départ?
Si on était parti d'une fonction g "inverse" sur les réels positifs, son ensemble de définition serait l'ensemble des réels str. positifs, fournissant une nouvelle application.
L'intérêt de ces nuances apparait lorsque l'expression des images est calculatoire, sans savoir à l'avance pour quelles valeurs de la variable on aura une image.
Une illustration plus imagée:
Par exemple si un institut de sondage fait une étude de la couleur la plus portée pour les chapeaux d'une population, une fonction de recensement Personne --> couleur de son chapeau devrait faire l'affaire.
Ok pour celles qui ont un chapeau, mais les autres?
D'accord, on pourrait ruser en adjoignant à l'ensemble des couleurs une couleur bidon  xxxx pour les gens sans chapeau, mais c'est peu naturel par rapport au but du sondage. On préfèrera restreindre la population théorique  à ceux qui portent un chapeau, obtenant une vraie application ( d'ailleurs composée P -> Chapeau -> Couleur...)

On évite d'ailleurs d'utiliser le mot "domaine", déjà utilisé par ailleurs en maths, même si cela se faisait à une époque ( la mienne!).

Dans mon post précédent, f et f' sont des applications, ensembles de définition et de départ sont identiques
( puisque toujours définies), pour f c'est $\mathbb{R}$ et pour f' c'est $\mathbb{C}$.

J'espère que c'est plus clair pour toi.