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"Aya-euler

Invité

limite de |un| , donc limite de Un ?

Saluuuut ,

si limite de "la valeur absolue de Un" tend vers l , alors qu'est ce qu'on peut dire sur limite de Un  ???
est ce qu'on peut dire quelque chose sur la réciproque ???

Merci d'avaaance ..

Rescassol

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Re : limite de |un| , donc limite de Un ?

Bonjour,

Regarde le cas de $u_n=(-1)^n$ par exemple.

Cordialement,
Rescassol

DeGeer

Membre

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Messages : 197

Re : limite de |un| , donc limite de Un ?

Bonjour
Réciproquement, si $u_n \rightarrow \ell$ alors $|u_n| \rightarrow |\ell|$ par continuité de la valeur absolue (on peut également le démontrer directement sans parler de continuité).

Dernière modification par DeGeer (29-07-2025 15:26:06)

bridgslam

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Re : limite de |un| , donc limite de Un ?

Bonjour ,

Si tu supposes que  $|u_n|$ tend vers L:

- si L =0  c'est par définition la convergence vers 0
- sinon L>0 :
  Soit à partir d'un rang N tous les termes sont de même signe.
Selon le cas $(u_n)$ tend donc vers L ou -L.
  Soit il existe une infinité de termes str. positifs et une infinité de termes str. négatifs.
Alors les positifs tendent vers L, et les négatifs tendent vers -L.
La suite $(u_n)$ admet deux sous-suites de limites distinctes, et  donc est divergente.

Dernière modification par bridgslam (04-08-2025 18:23:59)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."