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mouette

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Isomorphisme entre U et C* ?

Je me demande s’il existe un isomorphisme entre U le cercle unité et C* les complexes non nuls. J’ai l’impression que non mais les arguments classiques que j’ai essayé (ordre des éléments, torsions, sous groupes infinis, etc) ne m’ont pas permis de conclure. Cette question a pourtant l’air très facile mais je suis à cours d’idée, quelqu’un a déjà rencontré ce problème ?

Rescassol

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Re : Isomorphisme entre U et C* ?

Bonsoir,

$U$ est simplement connexe, et pas $\mathbb{C}^*$.

Codialement,
Rescassol

mouette

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Re : Isomorphisme entre U et C* ?

Merci beaucoup pour la réponse Rescassol mais je pense que je me suis mal exprimé, car je cherche un isomorphisme de groupe uniquement, sans m’intéresser à la topologie en particulier. Peut être que quelque chose m’échappe,mais la simple connexité n’est pas une notion traduisible dans le langage des groupes si ?

Sinon dans les arguments du même genre j’avais le théorème qui dit que tout sous groupe de U est soit fini soit dense, ce qui n’est pas le cas de C* (exemple R*), mais la densité ne me paraît pas fonctionner non plus si on se limite aux groupes.

Michel Coste

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Re : Isomorphisme entre U et C* ?

Bonjour,
Contrairement à ce qu'affirme Rescassol, $U$ n'est pas non plus simplement connexe. Son argument n'est donc pas valable.
En fait $U$ et $\mathbb C^*$ sont isomorphes en tant que groupes (mais on ne peut pas exhiber un tel isomorphisme).
Ce sont tous les deux des groupes abéliens divisibles https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_divisible, et ils ont même sous-groupe de torsion (le groupe des racines de l'unité). Leurs quotients par ce sous-groupe de torsion sont isomorphes, puisque ce sont des espaces vectoriels sur $\mathbb Q$ qui ont la puissance du continu.

Dernière modification par Michel Coste (22-07-2025 14:23:17)

Rescassol

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Re : Isomorphisme entre U et C* ?

Bonjour,

Oui, j'ai parlé trop vite....

Cordialement,
Rescassol

mouette

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Re : Isomorphisme entre U et C* ?

En fait $U$ et $\mathbb C^*$ sont isomorphes en tant que groupes (mais on ne peut pas exhiber un tel isomorphisme).

Merci pour la réponse, ça c’est vraiment un résultat auquel je ne m’attendais pas du tout ! J’irai lire la page Wikipedia même si ça a l’air de dépasser mes connaissances, j’imagine qu’en m’accrochant je comprendrai l’idée.

Et je repose la question en prenant le risque d’avoir l’air idiot, mais est-ce vrai que même si U était simplement connexe, cela ne suffirait pas à démontrer qu’il n’y a pas d’isomorphisme ? Peut être qu’il me manque juste des connaissances mais je ne vois pas en quoi l’existence d’un isomorphisme entre deux groupes se devrait d’impliquer la conservation de propriétés topologiques qui ne sont justement pas des propriétés de groupes ? C’est peut être pas très clair comme question, mais merci pour à tous pour l’aide en tout cas !

Dernière modification par mouette (22-07-2025 19:01:55)

Michel Coste

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Re : Isomorphisme entre U et C* ?

est-ce vrai que même si U était simplement connexe, cela ne suffirait pas à démontrer qu’il n’y a pas d’isomorphisme ?

Non, cela ne suffirait pas. $U$ et $\mathbb C^*$ ont bien des propriétés topologiques différentes : par exemple si on enlève $1$ à $U$, il devient simplement connexe, tandis que si on enlève $1$ à $\mathbb C^*$ il reste non simplement connexe.