Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

Modo Ferox

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Probas sur 2 garçons

Bonjour,

J'ai découvert cette énigme il y a 13 ans, je l'avais postée et elle avait occasionné 77 réponses, dont une disant que ma traduction française avait dénaturé le texte anglais...
J'avais quelque peu littérarisé ma traduction afin de compliquer la tâche de ceux dont le sport préféré était de chercher l'énigme sur Internet pour offrir la solution comme ayant été trouvée par eux...

Voici donc ma traduction.

L'autre jour, une lubie m'a pris : je me suis mis à demander aux gens que je rencontrais, s'ils avaient deux enfants et si oui, si l'un d'entre eux était un garçon né un vendredi...
On m'a regardé avec des yeux ronds !
Après de patientes recherches, j'ai fini par trouver quelqu'un qui me réponde oui.
Quelle probabilité y a-t-il pour que le 2e enfant de cette personne soit aussi un garçon ?

Mais maintenant, plus personne n'oserait se faire "mousser" de cette façon, donc, voici ci-dessous le texte original.
N-B :
1. Les points au milieu de certains mots anglais anodins sont une façon de tromper notre protection maison contre beaucoup de spams anglais, qui, sinon, rejetterait le texte...
2. Vous conviendrez que, si j'ai un peu"romancé" la traduction littérale, j'ai par contre veillé à ne pas en altérer le sens....
LV2 Italien au Lycée (ça ne me rajeunit pas), je n'ai pas oublié cet adage de nos amis transalpins : "Traduttore, traditore..." (Traducteur, traître)...
Donc

▼Texte en VO

I ask people a.t random if they have two children and al.so if one i.s a boy born on a tuesday. A.fter a long search I finally find some.one w.ho answers yes.
Wh.at is the probability th.at th.is person has two boys?

Je crois me souvenir que ce texte anglais est de Martin Gardner - grand amateur/auteur d'énigmes -  qui a un peu compliqué un paradoxe connu pour publier ce texte.

Bonne cogitation...

@+

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DeGeer

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Re : Probas sur 2 garçons

Bonjour

▼Texte caché

La probabilité ne serait-elle pas $\dfrac{2}{3}$? La subtilité étant que le garçon dont on suppose l'existence n'est pas nécessairement l'aîné, et donc que le 2ème enfant de la question (en français) n'est pas nécessairement le cadet.

Michel Coste

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Re : Probas sur 2 garçons

Bonsoir,

▼Supposant que les sexes sont équiprobables et les jours de naissance équiprobables dans la semaine et indépendants du sexe :

$\dfrac{13}{27}$

Dernière modification par yoshi (27-06-2025 11:23:58)

bridgslam

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Re : Probas sur 2 garçons

Bonsoir,

Pareil que Michel.

▼raisonnement

L'univers global est constitué des couples de couples (sexe,jour).
Les cas distincts où l'un des couples d'un couple est (G, Vendredi) sont au nombre de 28-1=27 ( pour ne pas compter deux fois le couple  ((G,Vend),(G,Vend)).
Même idée pour la suite:
Parmi ces cas , ceux distincts  où l'autre enfant est un gars sont au nombre de 14-1=13.
Ainsi p=13/27.

Bonne nuit
Et beaux rêves mathématiques..
Alain

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yoshi

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Re : Probas sur 2 garçons

Bonjour,

Bravo Messieurs !
Cette énigme a, depuis 13 ans, suscité de nombreux débats sur la toile...
Entre autres,

Il y en a bien d'autres et beaucoup de réponses fausses...

Fred, le premier sur Bibmath,  avait donné la bonne réponse,.
Il avait ajouté un peu plus tard :

Cette énigme de Yoshi est un paradoxe bien connu en probabilités, qu'on appelle parfois paradoxe des deux enfants, sous une forme un peu compliquée. La formulation initiale est la suivante :
Vous ouvrez la porte d'une maison qui abrite un couple avec deux enfants. C'est une fille qui vous ouvre.
A cet instant de la discussion, la probabilité pour que l'autre enfant soit un garçon est 2/3.
Puis le père s'approche et il dit : "Je vous présente mon ainée".
Alors dans ce cas la probabilité pour que l'autre enfant soit un garçon descend à 1/2.

Explication.
L'univers des possibles est constitué des couples suivants : (F,F), (F,G), (G,F), (G,G), où
la première lettre donne le genre de l'ainé, la seconde le genre du plus jeune. Chaque couple est équiprobable.
Lorsqu'une fille vous ouvre, vous savez que vous êtes dans la situation (F,F), (F,G) ou (G,F). La probabilité que l'autre enfant soit un garçon est bien 2/3, car deux couples sur les trois couples équiprobables donnent cette réponse.

Lorsque le père dit : voici mon ainé, vous pouvez encore éliminer le couple (G,F). Il ne reste que les couples (F,F) et (F,G), et donc la probabilité que l'autre enfant soit un garçon n'est plus que 1/2.

Avec la même méthode (c'est celle qui figure dans un des posts de Yoshi), avec le problème des jours de la semaine, on arrive à la réponse

▼Texte caché

13/27

. C'est un paradoxe assez dérangeant, car on a l'impression que l'information que l'on donne (il est né le vendredi, c'est mon ainée) ne changent pas les données du problème. En réalité, si !! Cette information supplémentaire change les calculs de probabilité par le biais des probabilités conditionnelles.

N'allez pas croire que j'ai été expert en probas... Hélas, non...  Je suis toujours aussi mauvais.

J'avais résolu le pb via Python  en listant tous les cas, puis en éliminant progressivement ceux qui ne "collaient" pas avec l'énoncé ce qui m'avait permis de tomber sur le bon résultat.
Si quelqu'un veut voir, j'ai encore tout sous la main...

@+

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bridgslam

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Re : Probas sur 2 garçons

Bonjour ,

Merci Yoshi pour ces compléments.
On pourrait modifier le sujet initial en notant par exemple que les naissances des filles en fin de semaine ( disons V,S, D) se produisent deux fois plus souvent que pour les garçons.
La démarche consistera à évaluer:
- les nouvelles probabilités élémentaires ( prob totale 1 avec la contrainte supra à prendre en compte)
- calculer la probabilté P de l'événement "un des enfants est un garçon né un vendredi"
- calculer la probabilité p de "les deux enfants sont des garçons dont l'un au moins est né un vendredi"
- calculer p/P

De bons bouquins si tu souhaites t'y remettre:
- Foata-Fuchs (*)
-Métivier

Sylvie Méléard et des collègues de  polytechnique Paris ont produit des vidéos de formations "Aléatoire" très agréables à suivre dont une excellente introduction, je ne sais pas si c'est encore en ligne.

(*) juste un bémol, les limites (quand elles existent) de suites d'ensembles sont un peu parachutées à mon goût avec les lim sup et lim inf,
je préfère celle plus intuitive consistant à dire que l'ensemble L  limite (si il existe) est caractérisé par les termes à l'infini (pour l'appartenance à L d'un élément ) ainsi que les termes à l'infini des complémentaires ( pour la non appartenance à L) ( "à l'infini" au sens "à partir d'un certain rang" )
La limite L (éventuelle ) est donc bien telle que, simultanément , $L = lim inf (A_n)$ , $L^c = (lim sup (A_n) )^c $ et donc signifie l'égalité des limites inf et limites sup, on retombe sur ce qui est (à mon sens ) un peu parachuté dans le Foata, sans que l'on voit très bien d'où ça vient...
A part ce bémol de détail , excellent, avec aussi de bons exos...

Bonne journée
Alain

Dernière modification par bridgslam (29-06-2025 15:32:36)

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