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Vassillia

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quaternions 2025

Bonjour, je continue une discussion commencée ailleurs si cela peut intéresser pldx1, également présent sur ce forum, comme j'ai peur qu'il n'y ait aucune réponse sur https://les-mathematiques.net/vanilla/d … nions-2025

1) Pour une homographie qui transforme $M \simeq (z:t:\zeta)$ en $M_h \simeq \left(\dfrac{az+bt}{cz+dt}:1:\dfrac{a' \zeta + b' t}{c'\zeta +d' t}\right)$, la matrice correspondante dans l'espace des cycles sera $\left(\begin{array}{cccc}
\mathit{b'} c + b \mathit{c'} + \mathit{a'} d + a \mathit{d'} & (\mathit{b'} c - b \mathit{c'} - \mathit{a'} d + a \mathit{d'}) i& -\mathit{a'} c - a \mathit{c'} + \mathit{b'} d + b \mathit{d'} & -\mathit{a'} c - a \mathit{c'} - \mathit{b'} d - b \mathit{d'} \\
{\left(\mathit{b'} c - b \mathit{c'} + \mathit{a'} d - a \mathit{d'}\right)} i & -\mathit{b'} c - b \mathit{c'} + \mathit{a'} d + a \mathit{d'} & -{\left(\mathit{a'} c - a \mathit{c'} - \mathit{b'} d + b \mathit{d'}\right)} i & -{\left(\mathit{a'} c - a \mathit{c'} + \mathit{b'} d - b \mathit{d'}\right)} i \\
-\mathit{a'} b - a \mathit{b'} + \mathit{c'} d + c \mathit{d'} & (\mathit{a'} b - a \mathit{b'} - \mathit{c'} d + c \mathit{d'})i & a \mathit{a'} - b \mathit{b'} - c \mathit{c'} + d \mathit{d'} & a \mathit{a'} + b \mathit{b'} - c \mathit{c'} - d \mathit{d'} \\
-\mathit{a'} b - a \mathit{b'} - \mathit{c'} d - c \mathit{d'} & (\mathit{a'} b - a \mathit{b'} + \mathit{c'} d - c \mathit{d'})i & a \mathit{a'} - b \mathit{b'} + c \mathit{c'} - d \mathit{d'} & a \mathit{a'} + b \mathit{b'} + c \mathit{c'} + d \mathit{d'}
\end{array}\right)$
Il suffit d'écrire le cercle point correspondant à $M$ c'est à dire $(-t(z + \zeta) : it(z - \zeta): -t^2 + z\zeta: t^2 + z\zeta)$, puis le cercle point correspondant à $M_h$  pour trouver cette matrice qui transforme l'un en l'autre

2) Plus difficile car je ne sais écrire une matrice de rotation qu'en dimension 2 (ou 3 en homogène). Considérons un vecteur unitaire $V=(v_x,v_y,v_z)$ c'est à dire tel que $v_x^2+v_y^2+v_z^2$ comme définissant l'axe de la rotation et $\theta$ l'angle de la rotation. Alors on peut poser $V'=U-(U\cdot V)V$ avec $U$ un vecteur quelconque choisi pour que $V'$ soit aussi unitaire. $V'$ est orthogonal à $V$ par construction et on a donc une base orthonormé $(V,V',V''=V\wedge V')$.
On veut donc une matrice $mat$ tel que $mat\cdot V=V$, $mat \cdot V'=cos(\theta)V'+sin(\theta)V''$ et $mat \cdot V''=-sin(\theta)V'+cos(\theta)V''$. On trouve en homogène $mat=\left(\begin{array}{cccc}
-\mathit{v_x}^{2} \cos\left(\theta\right) + \mathit{v_x}^{2} + \cos\left(\theta\right) & -\mathit{v_x} \mathit{v_y} \cos\left(\theta\right) + \mathit{v_x} \mathit{v_y} - \mathit{v_z} \sin\left(\theta\right) & -\mathit{v_x} \mathit{v_z} \cos\left(\theta\right) + \mathit{v_x} \mathit{v_z} + \mathit{v_y} \sin\left(\theta\right) & 0 \\
-\mathit{v_x} \mathit{v_y} \cos\left(\theta\right) + \mathit{v_x} \mathit{v_y} + \mathit{v_z} \sin\left(\theta\right) & -\mathit{v_y}^{2} \cos\left(\theta\right) + \mathit{v_y}^{2} + \cos\left(\theta\right) & -\mathit{v_y} \mathit{v_z} \cos\left(\theta\right) + \mathit{v_y} \mathit{v_z} - \mathit{v_x} \sin\left(\theta\right) & 0 \\
-\mathit{v_x} \mathit{v_z} \cos\left(\theta\right) + \mathit{v_x} \mathit{v_z} - \mathit{v_y} \sin\left(\theta\right) & -\mathit{v_y} \mathit{v_z} \cos\left(\theta\right) + \mathit{v_y} \mathit{v_z} + \mathit{v_x} \sin\left(\theta\right) & -\mathit{v_z}^{2} \cos\left(\theta\right) + \mathit{v_z}^{2} + \cos\left(\theta\right) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)$
Mais ce n'est pas très joli et il faut trouver un truc en rapport avec les quaternions

3) On triche un peu avec une recherche internet sur les quaternions (surtout si comme moi vous ne vous en êtes jamais servi) et on s'intéresse au quaternion unitaire $Q=q_1+q_2i+q_3j+q_4k$ avec $q_1=\cos(\theta/2)$; $q_2=v_x\sin(\theta/2)$;$q_3=v_y\sin(\theta/2)$; $q_4=v_z\sin(\theta/2)$ et alors on constate que la matrice est jolie en fonction de ce quaternion.
$mat=\left(\begin{array}{cccc} q_1^2+q_2^2-q_3^2-q_4^2 & -2q_1q_4+2q_2q_3 & 2q_1q_3+2q_2q_4 & 0 \\ 2q_1q_4+2q_2q_3 & q_1^2-q_2^2+q_3^2-q_4^2 & -2q_1q_2+2q_3q_4 & 0\\ -2q_1q_3+2q_2q_4 & 2q_1q_2+2q_3q_4 & q_1^2-q_2^2-q_3^2+q_4^2 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

4) On se dit finalement que la composition de rotations revient à faire un produit de quaternions

Dernière modification par Vassillia (25-06-2025 15:29:16)

Vassillia

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Re : quaternions 2025

Petite remarque, on pouvait partir de la matrice initiale et imposer la contrainte que la relation antipodale est préservée (nécessaire pour avoir des 0 là où il est prévu d'avoir des 0) ce qui donne $a'=d$, $b'=-c$, $c'=-b$ et $d'=a$ sachant qu'on a aussi $a'$, $b'$, $c'$ et $d'$ conjugués de respectivement $a$, $b$, $c$ et $d$, on retombe sur la même matrice avec
$a=\cos(\theta/2)+v_z \sin(\theta/2)i$
$b=v_y \sin(\theta/2)-v_x \sin(\theta/2)i$
$c=-v_y\sin(\theta/2)-v_x\sin(\theta/2)i$
$d=\cos(\theta/2)-v_z \sin(\theta/2)i$