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BigDeal59

Invité

Equation de Volterra

Bonjour,

  Quelqu'un aurait-il une idée pour déterminer la solution analytique de l'équation de Volterra suivante :

$ \forall t \in [0,16], y'(t) = \int_{0}^{t} \exp(t-t')y(t') \mathrm{dt'} $ avec $y(0) = 1$.

Je n'ai pas encore essayé la transformée de Fourier.

Respectueusement,
  BigDeal

BigDeal59

Invité

Re : Equation de Volterra

J'ai peut-être une idée :

Je commence par intégrer cette équation sur l'intervalle $[0,t]$ avec $t \in [0,16]$. On a alors :

$ y(t) - y(0) = \int_{0}^{t} \Bigg( \int_{0}^{t} \exp(t-t')y(t') \mathrm{dt'} \Bigg) \mathrm{dt} $

Ensuite, en supposant $y$ continue sur $[0,16]$, $t' \mapsto \exp(t-t')y(t')$ est continue sur $[0,t]$ et le théorème de Fubini donne :

$ y(t) - y(0) = \int_{0}^{t} \Bigg( \int_{0}^{t} \exp(t-t')y(t') \mathrm{dt} \Bigg) \mathrm{dt'} $

On a après calcul,

$ \int_{0}^{t} \Bigg( \int_{0}^{t} \exp(t-t')y(t') \mathrm{dt} \Bigg) \mathrm{dt'} =  \int_{0}^{t} \exp(t-t')y(t') \mathrm{dt'} - \int_{0}^{t} y(0) \exp(-t') \mathrm{dt'}  = y'(t) - \int_{0}^{t} y(0) \exp(-t') \mathrm{dt'} = y'(t) + \exp(-t) -1 $

Finalement, on obtient l'équation différentielle suivante :

$ y(t)= y'(t) + \exp(-t) $