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#1 25-02-2025 00:51:42
- shaday
- Invité
aide sur le calcul d'une integrale
Mes salutations a toute la communaute,
Merci d'avance d'aider a calculer cette integrale pour a > 0 :
\[I = \int\limits_0^1 {\frac{{a \cdot \tan h(x)}}{{\sqrt {1 + {{(ax)}^2}} }}dx} \]
#2 28-02-2025 09:14:20
- Saleh Bouba
- Membre
- Inscription : 28-02-2025
- Messages : 1
Re : aide sur le calcul d'une integrale
Bonjour. Pouvez-vous me donner la réponse ?
Merci
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#4 01-03-2025 10:31:26
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 509
Re : aide sur le calcul d'une integrale
Bonjour,
Une approche possible (voir si cela peut convenir en fonction du but recherché que tu n'as pas précisé).
On fait un DL de tanh(x) ...
par exemple : tanh(x) = x - x^3/3 + 2*x^5/15 - 17*x^7/315 + O(x^8) (ou peut évidemment modifier le nombre de termes en fonction de la précision attendue)
on a alors [tex]f(x) \simeq \frac{a*(x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315})}{\sqrt{1+(ax)^2)}}[/tex]
Qui est classiquement intégrable entre 0 et 1.
On trouve (merci à mon singe) :
[tex]F(x) =\int \frac{a \left(-\frac{17 x^7}{315}+\frac{2 x^5}{15}-\frac{x^3}{3}+x\right)}{\sqrt{(a x)^2+1}} \text{ d}x \\ = [/tex]
[tex]\frac{\sqrt{a^2 x^2+1} \left(a^6 \left(-85 x^6+294 x^4-1225 x^2+11025\right)+2 a^4 \left(51 x^4-196 x^2+1225\right)-8 a^2 \left(17 x^2-98\right)+272\right)}{11025 a^7}[/tex]
I = F(1) - F(0)
Par exemple pour a = 2, cela donne I = 0,5441...
Alors que le calcul (par calculette) donne à partir de la formule complète : I = 0,5457
ET
Par exemple pour a = 10, cela donne I = 0,8141259...
Alors que le calcul (par calculette) donne à partir de la formule complète : I = 0,815943
On peut augmenter la précision en prenant plus de termes au DL de tanh(x) ..., cela va évidemment de pair avec une allonge du temps de calcul de l'intégrale.
Dernière modification par Black Jack (01-03-2025 10:32:55)
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