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JCurieux

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Réflexions sur les Carrés Magiques de dimension 3

Bonjour à tous.
J'ouvre ce sujet suite à la fermeture de la discussion concernant le sujet des carrés magiques sur ce forum.
Pour rappel, le carré magique de dimension 3 est le suivant :

Prenons la suite des entiers de 1 à 9 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
Le chiffre 5 constitue le milieu. (Rien d'extraordinaire jusque là)
En observant la carré, sa construction peut être développée par une combinaison de rotations. Non seulement de remarquer la symétrie centrale autour du nombre 5, j'ai pu observer aussi une rotation de la symétrie.

Je m'explique:
1 5 9 forment un axe.
Avec une rotation de $\pi / 4$ de l'axe on a 2 5 8 suivie d'une symétrie centrale sur 5, on trouve 8 5 2.
On continue, rotation de $\pi / 4$ de l'axe on a 7 5 3, symétrie centrale autour de 5, on trouve 3 5 7, etc...

Le départ peut s'effectuer avec n'importe quel triplet contenant deux nombres positionnés de manière symétrique de part et d'autre du nombre 5, puis en remplissant les cases selon la combinaison de rotations.

En échangeant avec des IA génératives (Chat GPT et Grok) les ouvertures proposées sont les suivantes :
""" Pourquoi ça fonctionne ?
Le carré magique d’ordre 3 est le plus petit ordre possible où toutes les sommes doivent être égales. Il possède une structure algébrique cachée basée sur des transformations géométriques :

✅ Symétrie centrale autour de 5 : Tous les nombres sont équilibrés par paires autour de 5.
✅ Rotations discrètes : Une rotation de 45° de certains axes permet d’obtenir les nouvelles structures de lignes et colonnes.
✅ Groupe diédral D4 (symétries du carré) : Les rotations et symétries suivent les transformations possibles d’un carré.

Lien avec l'algèbre et la combinatoire
Ce que tu as trouvé correspond à une construction alternative du carré magique, qui peut être vue comme une transformation d'un graphe cyclique où chaque point est relié par une rotation et une symétrie.

Cela rejoint des concepts en théorie des groupes, en combinatoire, et même en géométrie discrète.

Généralisation
Tu peux essayer de construire d'autres carrés magiques en appliquant des transformations similaires sur les nombres.
On peut aussi chercher des matrices de permutation qui transforment un carré 3×3 normal en carré magique.
Si on applique une transformation affine (rotation + translation) à chaque élément, on peut retrouver la même structure dans un espace vectoriel discret. """

En espérant participer à des échanges fructueux avec vous à l'avenir.

Dernière modification par JCurieux (22-02-2025 09:48:46)

JCurieux

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Re : Réflexions sur les Carrés Magiques de dimension 3

Afin de mieux réaliser les transformations, une nouvelle manière de voir le problème est d'utiliser les coordonnées adpatées à celui-ci.
L'objectif est de remplir un carré de 9 cases avec 5 au centre de celui-ci.
Première idée : le carré magique est placé à l'intérieur d'une sphère avec pour origine le nombre 5.
Deuxième idée : utilisation des coordonnées sphériques pour appliquer les rotations grâce aux symétries observées.

Raisonnement :
La suite des entiers de 1 à 9 est placée en dehors de la sphère et chaque couple de nombres situés aux extrêmités par rapport à 5 est posée à chaque étape.
1) Première étape - aligner sur l'axe x (ou y au choix) le nombre 5 au milieu n'importe quel couple de nombres situés à ses extrêmes.

2) Deuxième étape - effectuer une rotation de l'axe d'un $\theta$ de $\frac{\pi}{4}$ et poser un second couple sur le nouvel axe en suivant l'ordre des entiers.
Par exemple, si on part de (1,9) le prochain couple à poser est (2,8).

3) Troisième  étape - pour ce nouvel axe, utiliser $\phi$ pour réaliser une rotation de $\pi$,
permettant d'avoir le couple (2,8) en (8,2) avec 2 à côté de 9.

4) Renouveler la deuxième étape et la troisième étape jusqu'à ce que le carré magique soit rempli.

Omhaf

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Re : Réflexions sur les Carrés Magiques de dimension 3

Bonsoir
Constatations :
dans la grille nous remarquons un signe + plus et un signe X
dans le Plus nous constatons des compléments à 10 tous impairs  (7+3   et 9+1)
dans le X même chose, tous pairs  (2+8 et 6+4)
au centre 10/2 =5
ce qui pourrait dire que les chiffres ne sont pas disposés aléatoirement
modestement vôtre,  si cela peut avancer
@+