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paloma

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La sigma-sous algèbre engendrée par les intervalles centrés en zéro

Bonjour,
S'ils vous plait j'ai besoin d'aide,
Dans cet exemple l'auteur a défini [tex]\mathcal{A}[/tex] comme la sigme-sous-algèbre engendrée par les intervalles symétriques autour de l'origine. Et il a dit que il est calire que [tex]\varphi^{-1} (\mathcal{A}) \subseteq \mathcal{A}[/tex].
ici je veux montrer cette inclusion , [tex]\phi^{-1}(\mathcal{A})\subseteq \mathcal{A}[/tex], donc j'ai pris un intervalle symétrique par rapport à zéro [tex][-a;a][/tex] avec a un réel strictement positif, puis j'ai calculer son image réciproque par [tex]\varphi[/tex], j'ai trouver [tex][-a-t; a-t][/tex], ma question c'est de montrer que [tex][-a-t; a-t][/tex] est appartient à [tex]\mathcal{A}[/tex],

Voici l'énoncé de l'auteur:
Soit [tex]X = \mathbb{R} [/tex] est la droite réelle avec la mesure de Lebesgue  [tex]\mu[/tex] sur la [tex]\sigma[/tex]-algèbre [tex]\Sigma[/tex] de tous les sous-ensembles mesurables de Lebesgue de [tex]\mathbb{R}[/tex]. Soit [tex]\mathcal{A}[/tex] la [tex]\sigma[/tex]-sous-algèbre engendréé par les intervalles symétriques autour de l'origine. Pour un nombre réel positif  [tex] t [/tex], on définit la transformation [tex]\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] par  [tex] \varphi(x) = x + t,  x \in \mathbb{R} [/tex]. il est clair que, [tex]\varphi^{-1} A \subseteq A[/tex].

Fred

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Re : La sigma-sous algèbre engendrée par les intervalles centrés en zéro

Bonjour,

Le résultat est faux. En effet, si tu considères $\mathcal B=\{A\subset \mathbb R:\ A=-A\}$, alors $\mathcal B$ est une $\sigma$-algèbre, elle contient les intervalles symétriques donc elle contient $\mathcal A.$ Ainsi, par exemple, l'intervalle $[-1-2,1-2]$ n'est pas dans $\mathcal A.$

F.

paloma

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Re : La sigma-sous algèbre engendrée par les intervalles centrés en zéro

Merci pour votre réponse mais j'ai pas arrivé à voir ce qui n'est pas vrai ?
Vous parlez de l'inclusion sur j'ai posé la question, c'est ça ?
Le problème que ce résultat a été publié dans un journal très connu !!!

paloma

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Re : La sigma-sous algèbre engendrée par les intervalles centrés en zéro

De plus l'intervalle que vous avez donné, est vraiment n'est pas dans [tex]\mathcal{A}[/tex], mais la question est ce qu'on peut pas écrire cet intervalle sous forme de réunion des intervalles symétriques par rapport à zéro ?, car par structure de [tex]\mathcal{A}[/tex] c'est la [tex]\sigma[/tex]-sous algèbre engendré par les intervalles symétriques par rapport à zéro.

Michel Coste

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Re : La sigma-sous algèbre engendrée par les intervalles centrés en zéro

Bonjour,
Fred t'a expliqué que tout élément de $\mathcal A$ est symétrique par rapport à l'origine.
Par ailleurs il est clair que si tu translates de $t\neq 0$ un intervalle borné non vide symétrique par rapport à l'origine, alors l'intervalle translaté sera symétrique par rapport à $t$, mais pas par rapport à l'origine. C'est l'exemple de Fred.
Peux-tu donner la référence de l'article ?

paloma

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Re : La sigma-sous algèbre engendrée par les intervalles centrés en zéro

Malgré que l'intervalle sera symétrique par rapport à [tex]t [/tex], est ce qu'on peut pas le voir sous forme de réunion des intervalles qui sont symétriques par rapport à l'origine ??

bridgslam

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Re : La sigma-sous algèbre engendrée par les intervalles centrés en zéro

Bonjour,

Il suffit de bien cerner l'affirmation de l'auteur (qui ?).
$\phi^{-1}\mathcal{A} \subset \mathcal{A}$ signifie $\forall A \in \mathcal{A}, \phi^{-1}(A) \in \mathcal{A}$.

Fred t'a donné un exemple de partie A =[-1,1] qui est bien dans $\mathcal{A}$  mais  dont l'image réciproque par $\phi$ (avec t = 2)  n'est pas dans $\mathcal{A}$ puisque déjà pas dans la tribu $\mathcal{B}$

Alain

Michel Coste

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Re : La sigma-sous algèbre engendrée par les intervalles centrés en zéro

Malgré que l'intervalle sera symétrique par rapport à [tex]t [/tex], est ce qu'on peut pas le voir sous forme de réunion des intervalles qui sont symétriques par rapport à l'origine ??

Une réunion d'intervalles symétriques par rapport à l'origine est un intervalle symétrique par rapport à l'origine. Cet intervalle, s'il est borné non vide, ne peut donc pas être symétrique par rapport à $t\neq 0$.
Fred t'a déjà expliqué que les parties de $\mathbb R$ symétriques par rapport à l'origine forment une $\sigma$-algèbre qui contient $\mathcal A$. Ne l'as-tu pas compris ?
Je t'ai demandé la référence de l'article. Peux-tu la donner ?