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cent0quatre

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déterminant avec des x

Bonsoir! Je viens solliciter votre aide pour un exercice d'algèbre linéaire centré sur du déterminant sur lequel je sèche.. Sur les premières question je me démène tant bien que mal mais c'est bien sur la dernière question où j'voudrais bien ne serait ce que de comprendre l'énoncé:

Pour chaque $x \in \mathbb{R}$, on pose
\[
A_x =
\begin{pmatrix}
1 & x & x & x \\
x & 1 & x & x \\
x & x & 1 & x \\
x & x & x & 1
\end{pmatrix}.
\]

1. Inverser A_2 par la méthode de la matrice augmentée.
2. Pour un x quelconque, calculer le déterminant de A_x en le développant sur la 3ème colonne.
3. Montrer par des opérations sur les colonnes que det(A_x) = (1+3x)det(B_x)
avec B_x une matrice carrée de taille 4 possédant une colonne de réels indépendants de x. En déduire det(A_x).

Merci d'avance pour votre aide.

Fred

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Re : déterminant avec des x

Bonjour

  Que se passe-t-il si dans la première colonne tu ajoutes la deuxième la troisième et la quatrième colonne ?

F.

cent0quatre

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Re : déterminant avec des x

Merci!! Effectivement, on se retrouve avec une colonne de 1+3x et si je connais mon cours, je sais que le déterminant est linéaire pour une colonne fixée; ce qui me permet de détacher 1+3x en facteur et de trouver ma première colonne avec des 1 et je retrouve bien la définition de B_x.
Pour déduire A_x, on remarque que 1+3x s'annule en -1/3 et det(B_x) quand 2 colonnes sont égales donc quand x=1; dans ces 2 cas det(A_x)=0 et sinon il sera non nul.