Théorème de Pythagore et triangles multiples du triangle 3, 4, 5

Borassus · 21-11-2024 23:32:34

Bonsoir ou bonjour,

Pourquoi, face à un exercice du type
« Soit un triangle $BOF$ rectangle en $B$, avec $OF = 10$ cm, $OB = 8$ cm. Quelle est la longueur du côté $[BF]$ ? »,
une ou un élève ne peut écrire simplement
« On remarque que $10 = 2 \times 5$, et que $8 = 2 \times 4$. Donc la longueur $BF$ est tout naturellement égale $2 \times 3 = 6$ cm » ?

Pourquoi est-elle ou est-il obligé d'écrire, par exemple,
« D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle $BOF$ rectangle en $B$, $OF^2 = OB^2 + BF^2$, d'où $BF^2 = OF^2 - OB^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$, soit finalement $BF = \sqrt {36} = 6$ cm » ?

Merci de vos retours.

Borassus · 21-11-2024 23:44:40

Je conseille à mes élèves de d'abord "faire l'âne pour avoir du son" en écrivant le développement "académique" et de placer la résolution simple en remarque.

DrStone · 21-11-2024 23:49:31

Bonsoir.

My two cents.

Parce que ça suppose de connaître les triplets pythagoriciens ? Si tu changes ton énoncé pour des multiples du triplet $(65, 72, 97)$, je ne suis pas certain que ton élève s’en sorte ; alors qu’en appliquant le théorème à la lettre ça fonctionne quoi qu’il arrive.

Sans compter que ça fait aussi réviser plein de notions : le théorème de Pythagore, les carrés, les racines carrés, etc…

Borassus · 21-11-2024 23:56:18

Bonsoir bien cher :-),

$\dfrac {97}{5} = 19,4$

$\dfrac {72}{4} = 18$

$\dfrac {65}{3} = 21,66666...$

Il ne s'agit pas vraiment d'un triangle multiple du triangle 3, 4, 5...

DrStone · 22-11-2024 00:01:36

Bonsoir. ;)

J’évoquais plutôt des triangles tels que $OF=130$ et $OB=144$ ou autres multiples.

Qui sont alors des triangles multiples du triangle $(65,72,97)$.

Sauf que bonne chance pour que l’élève moyen s’en rende compte.

Ernst · 22-11-2024 00:06:48

Borassus a écrit :

Bonsoir ou bonjour,
Pourquoi, face à un exercice du type
« Soit un triangle $BOF$ rectangle en $B$, avec $OF = 10$ cm, $OB = 8$ cm. Quelle est la longueur du côté $[BF]$ ? »,
une ou un élève ne peut écrire simplement
« On remarque que $10 = 2 \times 5$, et que $8 = 2 \times 4$. Donc la longueur $BF$ est tout naturellement égale $2 \times 3 = 6$ cm » ?
Pourquoi est-elle ou est-il obligé d'écrire, par exemple,
« D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle $BOF$ rectangle en $B$, $OF^2 = OB^2 + BF^2$, d'où $BF^2 = OF^2 - OB^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$, soit finalement $BF = \sqrt {36} = 6$ cm » ?
Merci de vos retours.

Bonsoir,

Je dirais pour plusieurs raisons.

À la base, on peut penser qu'il n'identifie pas le triangle 3-4-5, peut-être même ne sait-il pas que celui-ci est rectangle.

Quand bien même il le saurait, il s'agit d'une factorisation, ce qui n'est jamais intuitif. Pour voir tout nombre pair comme un multiple de 2, il faut encore que cela ait une utilité évidente.

Enfin, et surtout je dirais, parce qu'il n'a aucune idée de ce qu'attend le prof. Dire que c'est un multiple du triangle 3-4-5 qui est rectangle ne va pas faire l'affaire, à moins de montrer que ce triangle est effectivement rectangle, alors autant appliquer Pythagore directement.

En passant, il n'est jamais bon d'attendre d'un élève quelque chose qu'on ne précise pas. Si on trace deux triangles au tableau et qu’on attend le mot « semblable », c'est le meilleur moyen pour être déçu. Si on lui demande, l'élève va dire qu'ils sont deux, un grand un petit, qu'ils ont trois côtés, trois angles… Si on demande de préciser, il ajoutera qu'ils sont tracés à la craie ou au marqueur. Le prof : oui, mais encore ? L’élève : euh, isolés ? Disjoints ? Le prof : plus simple, quelque chose d'évident, de fondamental… L’élève : euh, co-planaires ?

Bref, à chaque fois l'élève aura le sentiment d'être juste, à chaque fois le prof s'impatientera, et cela finira par la réponse de quelqu’un d’autre ou du prof lui-même, meilleur moyen d’installer une rancœur tenace envers les maths...

Borassus · 22-11-2024 00:10:00

Tu dévies du sujet initial, bien cher : beaucoup d'exercices font référence à des triangles rectangles multiples du triangle 3,4,5, par exemple 12, 16 et 20.

Maintenant, on ne dit effectivement pas suffisamment que si un triangle est rectangle, tout triangle multiple de celui-ci, c'est-à-dire dont les trois longueurs sont multipliées par un même nombre $k$ est rectangle (triangles semblables).

Dans ton exemple, $130 = 2 \times 65$, $144 = 2 \times 72$ et $194 = 2 \times 97$.

Borassus · 22-11-2024 00:22:03

Bonsoir Ernst,

Je ne pense pas qu'il soit difficile de montrer, preuve à l'appui, que le triangle 3,4, 5 est rectangle, ce qui est connu depuis la Haute Antiquité, bien avant l'existence de Monsieur Pythagore.

Je ne pense pas non plus qu'il soit difficile de montrer que tout triangle dont les trois longueurs sont multiples de celles d'un triangle rectangle (avec bien sûr le même multiplicateur) est lui-même un triangle rectangle.

Pas plus tard qu'hier (mercredi), un élève de 4ème était tout étonné de la facilité avec laquelle l'exercice que j'ai mentionné se résout. Et se sentait quelque peu frustré de devoir suivre la méthode "académique" alors que "c'est si simple".

DrStone · 22-11-2024 00:29:15

Re ^_^

Je ne serais pas aussi catégorique sur le fait que je dévirais du sujet initial.
Si le professeur donne en exercice que des triangles multiples de $(3,4,5)$ mais qu’en contrôle il se dit « tiens, aujourd’hui je vais leur donner un triangle multiple de $(12, 35, 37)$ » combien seront largués et se ramasseront un zéro avec ta façon de faire ?
Qui, soit dit en passant, n’est pas naturelle : le naturellement cache le théorème de Pythagore derrière un « c’est trivial » implicite, ce qui me déplaît en bon élève de la mathématique moderne, ayant passer sa vie d’élève à devoir tout justifier, que je suis. ^_^

Tandis qu’à nouveau, si tu appliques le théorème de Pythagore tel quel, ça fonctionne dans tous les cas et les élèves n’ont pas à se faire des noeuds au cerveau pour discerner des multiples de triplets qu’ils ne connaissent probablement, ni d’Ève ni d’Adam.

Dernière modification par DrStone (22-11-2024 00:35:34)

Borassus · 22-11-2024 00:36:54

Je n'ai pas lancé la discussion par rapport à un rectangle multiple de n'importe quel rectangle.

Ce que j'écris, c'est que beaucoup d'exercices sont construits sur des triangles multiples du triangle 3, 4, 5.
Et j'apprends à mes rares élèves collégiens — je prends principalement des élèves de Première et de Terminale ; je ne prends des élèves du collège que s'il s'agit du petit frère ou de la petite sœur d'un(e) élève, ou d'un(e) ancien(ne) élève — à les repérer.

De la même façon, une proportion importante d'exercices portant sur le second degré sont basés sur une racine évidente.

DrStone · 22-11-2024 00:42:02

Oui. Et moi je te dis que même si les exercices sont triviaux, ce n’est pas forcément le cas des devoirs sur table donnés en contrôle.

De plus, ta méthode ne fait travailler qu’une seule notion : les multiples.

Or, il me paraît plus utile de faire travailler de nombreuses notions qui sont toutes implicitement utilisées pour résoudre un exercice avec le théorème de Pythagore : les carrés, les racines carrées, les raisonnements à un ou deux pas, etc. ainsi que la vision dans le plan du dit triangle avec ces triplets ce qui permet aussi d’introduire plus facilement, selon un avis qui n’engage que moi, l’inégalité triangulaire plus tard dans le cursus.

Borassus · 22-11-2024 00:47:19

Exemple de conception d'un exercice — je demande souvent à mes élèves de "jouer au prof" en concevant leurs propres exercices :
Soit un triangle rectangle d'ont l'hypoténuse est égale à 135. Quelle est la longueur des deux autres côtés pour que le triangle soit un multiple du triangle 3, 4, 5 ?

$\dfrac {135}{5} = 27$ ; $27 \times 4 = 108$ ; $27 \times 3 = 81$.

Donc on peut indiquer deux de ces trois longueurs et trouver immédiatement la troisième.

Borassus · 22-11-2024 00:52:27

DrStone

C'est pour cela que je conseille de résoudre d'abord l'exercice de façon "académique" et de présenter la résolution rapide et simple en tant que parenthèse, en accompagnant éventuellement la parenthèse fermante par le smiley :-).

Oui, il faut utiliser le TdP, utiliser la racine carrée, etc.
Mais on a fait cinq fois la même typologie d'exercices, on a vite compris, et il est beaucoup plus fun de résoudre par la simplicité.

Dernière modification par Borassus (22-11-2024 00:55:21)

DrStone · 22-11-2024 01:02:51

Borassus a écrit :

DrStone
C'est pour cela que je conseille de résoudre d'abord l'exercice de façon "académique" et de présenter la résolution rapide et simple en tant que parenthèse, en accompagnant éventuellement la parenthèse fermante par le smiley :-).

Bah voilà. Du coup tu sais déjà depuis le début pourquoi un élève est «obligé d'écrire» tout le développement.

Pourquoi on ne lui permet pas d'écrire le reste ? Pour tout ce qu'on a déjà dit + le manque de temps, j'imagine. Un prof de 4ème il a plein de notions à faire passer à 35 élèves en 3h30 par semaine. Il va au plus simple, au plus efficace et surtout à ce qu'il est lui-même obligé de faire.

Sans compter que le professeur évalue bien ce qu'il veut en fonction du programme qu'il doit enseigner : s'il veut évaluer la capacité de l'élève à appliquer et suivre ce raisonnement et pas ton "tour de passe-passe implicitement trivial" (au niveau des élèves ; mais qui est très probablement la manière dont je résoudrais moi aussi ces exercices), c'est aussi son droit. ^_^

D'autant que je ne crois pas que quelconque élève normal (qui n'a, notamment, pas les moyens de se payer Borassus) ne pense une seule seconde à une factorisation avant d'être en Spécialité Maths en Première. Et d'après ce qu'on peut lire ci et là sur d'autres forums dédiés aux mathématiques ou à l'enseignement des mathématiques, ça semble y compris être le cas d'élèves qui se destinent à la (voire qui sont déjà en) prépa.

Dernière modification par DrStone (22-11-2024 01:03:25)

DrStone · 22-11-2024 01:10:17

Borassus a écrit :

Oui, il faut utiliser le TdP, utiliser la racine carrée, etc.
Mais on a fait cinq fois la même typologie d'exercices, on a vite compris, et il est beaucoup plus fun de résoudre par la simplicité.

Fun pour l'élève qui s'en sort mais pas pour l'élève qui est une bille. Ça m'étonne toujours de te lire écrire de telles choses alors que tu me disais au début de l'année avoir eu un parcours atypique notamment parce que tu étais toi-même une bille en mathématiques. As-tu oublié tes propres souffrances d'élève ?

Borassus · 22-11-2024 01:25:05

Mais, bien cher, c'est précisément parce que j'ai un parcours atypique — je rappelle que j'ai commencé mes études scientifiques par un Bac littéraire (option Maths, quand même :-) et trois années infructueuses de Licence de russe à Nanterre — que je m'évertue à expliquer simplement et non de façon académique !

Et tu sais quelle est la réaction de mes élèves lorsque je leur explique quelque chose de tout simple ?
« Mais pourquoi on ne nous dit pas cela ? C'est pourtant tellement plus simple ! »
La réaction des filles est plus spécifique : « Ah oui, c'est logique, c'est facile ! » ou « Ah oui, c'est logique, c'est simple ! »

Pas plus tard que samedi dernier, un élève de Terminale à qui j'expliquais le principe de la dérivation d'une fonction composée à plusieurs niveaux d'imbrication (trois, quatre, cinq, six ou sept , du vrai délire !) : « Hein ?! C'est tout ?! Mais c'est tout simple !! Pourquoi on ne nous l'explique pas ?? Ah, les cons ! »

DrStone · 22-11-2024 01:52:24

Ah ça je le sais bien. ;)

Le seul problème dans ta démarche, c’est que tu entres en conflit avec le professeur et son enseignement.
Professeur qui se doit d’enseigner ce que sa direction lui dicte comme tout fonctionnaire : il n’a pas le luxe de faire ce qu’il veut comme toi.

Peut-être que lui aussi il aimerait présenter la même méthode que toi, mais que simplement il ne peut pas. Soit parce que sa direction lui interdit, soit parce qu’il sait que ça entre en conflit avec ce que le programme demande (de part la nature même de cet enseignement : on l’a vu, il vaut mieux la méthode longue pour une meilleure assimilation de nombreux concepts) et que ça pourrait perturber plus d’un élève d’avoir deux présentations.

Je pense vraiment que ça pourrait être un bon exercice de pensée de te remettre dans les bottes du Borassus collégien : n’aurait-il pas été perdu s’il avait reçu pleins d’informations de résolutions complémentairement contradictoires ? (Oui, j’invente des expressions !) Aurait-il vraiment été en mesure de savoir où donner de la tête dans ses devoirs ? Aurait-il su et compris ce qu’attendait son professeur afin de ne pas avoir 0 ? Etc.

Prend en compte que tu as été au collège à une époque où les élèves étaient triés pour entrer en sixième : tu étais donc considéré comme apte, par sélection, à suivre. Pourtant tu as quand même eu quelques couacs qui font de toi un personnage assez atypique sur ce forum.
Maintenant souviens-toi qu’aujourd’hui, n’importe quel enfant (même s’il ne sait ni compter jusqu’à 20 ou écrire correctement son prénom… et c’est à peine exagéré) va au collège, suit des cours de mathématiques, et se retrouve à résoudre ces problèmes, avec des programmes et des exigences toujours revus à la baisse du fait du niveau toujours plus abyssal des-dits élèves.

Je te l’ai déjà dit mais je me permets de me répéter : les élèves que tu reçois en cours particuliers ne sont pas des élèves normaux, du simple fait qu’ils ont plus d’heures de cours de maths que les autres que tu leur prodigues, mais aussi du fait que ce sont des élèves qui veulent en apprendre plus ou mieux réussir (enfin s’ils ont les moyens : il y a des élèves qui veulent aussi ça mais ne peuvent pas se le permettre financièrement de s’offrir un Borassus ce qui fait qu’ils n’auront jamais, en tant qu’élèves, accès à ce savoir).

N’oublie donc pas de te mettre à la place des 30 et quelques autres élèves ainsi que du professeur de chacune des classes de tes élèves particuliers et demande-toi à chaque fois si tu aurais apprécié à l’époque, aussi bien en tant qu’élève en difficulté mathématiques ou en tant que professeur.

Après y avoir réfléchi de la sorte, même moi qui n’ai pourtant pas eu de soucis particuliers en mathématiques à l’école et qui ai longtemps été pour raser tout l’enseignement actuel et revenir à des programmes bien mieux construits, bien plus complets et bien plus exigeants, j’ai fini par me raviser et me dire que j’avais une vision trop déconnectée de la réalité. ^_^’

Dernière modification par DrStone (22-11-2024 02:01:45)

DeGeer · 22-11-2024 07:14:05

Bonjour
Pour répondre à la question initiale, je pense qu'il faudrait justifier que les triangles sont semblables, que ce n'est manifestement pas le but de l'exercice, et que les élèves sont beaucoup plus familiarisés avec le théorème de Pythagore qu'avec les triangles semblables.
Après j'aurais tendance à valider une rédaction mathématiquement correcte, même si elle ne correspond pas au programme et/ou aux attendus.

Borassus · 22-11-2024 13:28:16

Bonjour DeGeer, bonjour à tous,

Je ne pense pas qu'il soit nécessaire d'introduire ou d'utiliser la notion de triangles semblables.

Il suffit d'expliquer, en le démontrant, que tout triangle généré en multipliant les trois longueurs d'un triangle rectangle par un même nombre vérifie l'égalité du théorème de Pythagore, et est donc un triangle rectangle. (Cela peut d'ailleurs être énoncé comme corollaire du TdP.)

Si le triangle ABC est rectangle en B, AC² = AB² + BC².
Si maintenant on construit un triangle A'B'C' en multipliant les trois longueurs par un nombre $k$, on a d'une part A'C'² = (kAC)² = k²AC²,
et d'autre part A'B'² + B'C'² = (kAB)² + (kBC)² = k²AB² + k²BC² = k²(AB² + BC²) = k²AC².
De par la réciproque du théorème de Pythagore appliquée au triangle A'B'C', ce triangle est rectangle.

Cela est vrai notamment pour tout triangle multiple du triangle 3, 4, 5.

Maintenant, ouvrez votre manuel au chapitre consacré au Théorème de Pythagore et amusez-vous à repérer le plus rapidement possible (et à résoudre la plus rapidement possible) les exercices construits à partir d'un multiple du triangle 3, 4, 5. Vous verrez qu'il y en a un certain nombre, toute simplement parce que ce sont des exercices faciles à concevoir.

Dernière modification par Borassus (22-11-2024 13:35:49)

Borassus · 22-11-2024 14:02:43

Donc, une fois bien expliqué ce corollaire, on peut facilement expliquer que, à partir du moment où on a montré que le triangle (65, 72, 97) est rectangle, tout multiple de ce triangle est lui-même rectangle.
Par exemple le triangle (65 x 2 ; 72 x 2 ; 97 x 2), ou le triangle (65 x 3 ; 72 x 3 ; 97 x 3), ou encore le triangle (65 x pi ; 72 x pi ; 97 x pi) , voire le triangle (65 x 2817 ; 72 x 2817 ; 97 x 2817)

(Je peux vous assurer, pour l'avoir mainte et mainte expérimenté, qu'on peut donner des exercices délirants à partir du moment où les élèves en ont compris la logique. Et ils aiment résoudre facilement des exercices délirants.)

Dernière modification par Borassus (22-11-2024 14:33:58)

DrStone · 22-11-2024 19:44:58

Bonsoir.

J’ai l’impression que tu fais exprès de ne pas comprendre.

Tant pis ^_^

Borassus · 22-11-2024 22:27:47

Bonsoir bien cher Doc, bonsoir à tous,

Mais si, mais si, je comprends. Et suis, comme d'habitude, peu d'accord avec ce que tu écris.
Mais, devant partir en cours pour toute l'après-midi, je n'avais pas le temps de te répondre comme je le voudrais.
Je le ferai peut-être demain, si j'en ai la disponibilité.

Bonne soirée à tous.

DrStone · 22-11-2024 22:47:33

Bonsoir.

Le moins qu’on puisse dire, c’est que nos désaccords animent le forum ! ;=)

Hâte de lire ta véritable réponse !

Dernière modification par DrStone (22-11-2024 22:47:43)

Ernst · 23-11-2024 13:24:58

Bonjour,

Ce qui m’embête un peu dans cette histoire, c’est le présupposé sur le raisonnement que devrait avoir un élève. Une fois qu’il a compris une logique, ok, il répond selon cette logique, mais de quelle logique parle-t-on ?

Réponse 1 : 6. À la Srinivasa Ramanujan qui pondait du résultat sans jamais se sentir le besoin de se justifier.

Réponse 2 : 6, Pythagore. Synthèse parfaite, il connaît le théorème, il a su faire le calcul, le résultat est juste.

Réponse 3 : 6, Pythagore, 10² – 8² = 6². Alors qu’il a cité Pythagore il se sent quand même obligé de justifier, était-ce bien nécessaire ?

Réponse 4 : 6, Pythagore, 2 fois le triangle 3-4-5. Aïe, la boulette. Déjà 3-4-5 ça fait -6, ce qui n’a aucun sens avec la question, ensuite 2 fois une surface ne donne certainement pas le triangle de l’énoncé. Donc mal dit, au minimum.

Réponse 5 : $\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{\left( 10+8\right) \left( 10-8\right) }=\sqrt{18\times 2}=\sqrt{36}=6$. Ici l’élève témoigne à la fois de sa connaissance des identités remarquables et de l’exposé d’un raisonnement mathématique, très bien. Sauf qu'il n’a pas à utiliser des concepts qui n’ont pas encore été enseignés, faut quand même pas exagérer.

Bref, un élève moyen ne peut tout simplement pas évaluer la pertinence d’une réponse. Il suffit d’avoir des enfants ou d’en avoir fréquenté pour comprendre que l’évaluation de leurs résultats est souvent pour eux une surprise. Ici par exemple, comment peut-il comprendre que le prof va à la fois s’interroger de ne pas avoir la réponse 3 4 5 et en même temps trouver inutile d’utiliser la notion de triangles semblables ?

Borassus · 24-11-2024 01:27:07

Bonsoir ou bonjour Doc, bonsoir ou bonjour Ernst, bonsoir ou bonjour à tous,

Avant de vous répondre plus en détail, je tiens à rappeler que j'exerce mon métier de prof de maths à domicile depuis plus de douze ans, et que je totalise intuitivement de l'ordre de 10 000 de cours — ce serait un travail de bénédictin chinois que de vouloir calculer le total exact en examinant mes très nombreux bulletins de paie —, répartis en environ 200 élèves, dont une bonne partie pendant deux, trois ou quatre années successives. (Je suis aussi souvent transmis de famille en famille.)

J'anime aussi avec vivacité plaisante des stages de vacances. (Une fois, une fille m'a interrompu en me disant « C'est étonnant ! On dirait que vous jouez votre cours. » « Mais oui ! un cours doit se jouer ! Vous êtes le public à qui on se doit de jouer nos cours ! » Les élèves, unanimes : « On aimerait bien que nos profs jouent leurs cours ! ». Une autre fois, j'ai tenu une quinzaine d'élèves de Terminale pendant trois heures et quart, sans pause, sans que personne, moi compris, ne s'en aperçoive.)

J'ai eu aussi deux expériences magiques en tant que prof de classe, en 4ème (trois classes) et en 5ème (une classe), ainsi que deux classes de Terminale, mais n'ai plus accepté de missions par simple nécessité de ne pas, au sens réel du terme, me tuer. (Outre mes heures de cours, de préparation et de correction — je me surinvestissais et consacrais pas moins d'une heure par copie —, j'avais tous mes élèves particuliers, ce qui me faisait des semaines à 70 ou 75 heures : je me couchais à 2 h et me levais à 7 h, dimanche compris. Je vivais tellement passionnément mon métier qu'il n'est pas étonnant que j'aie fait il y a cinq ans un arrêt cardiaque de trente secondes, heureusement immédiatement récupéré par l'équipe des Urgences. Ce qui m'a fait très fortement fait comprendre qu'un prof passionné est d'abord un prof VIVANT.)

Donc, bien cher, ne penses-tu pas qu'il serait bienvenu, voire courtois, de ne pas m'enseigner un métier que je pratique aussi passionnément et aussi intensément depuis déjà un nombre conséquent d'années ?..
(et que j'espère pouvoir exercer aussi longtemps que la vie me le permettra)

Par ailleurs, de l'ordre de 200 élèves dont une bonne partie jusqu'à quatre années successives, cela représente peut-être de l'ordre de 300 ou 350 profs, d'établissements publics ou privés, dont certains prestigieux, que j'ai pu "rencontrer" à travers mes élèves. Je vois donc les notes et polycopiés de cours, les sujets de contrôle, les corrigés des exercices, les corrections des copies — je vois TRÈS rarement des corrections de copie bienveillantes et encourageantes ! Yoshi, de tous les profs que j'ai pu indirectement côtoyer, tu es, et de loin, le plus bienveillant !
Je dispose donc d'un "balcon d'observation" de tout premier ordre...

Enfin, comme vous avez largement eu l'occasion de le remarquer, je suis profondément rebelle, et le deviens de plus en plus, aux formules répétées un nombre incommensurable de fois sans que la logique de fond en fût expliquée et comprise — c'est quelque chose que j'entends assez souvent de la part de mes élèves, notamment de Terminale : « Le prof nous a balancé toute une série de formules dont je ne comprends pas la logique ! »
Je m'évertue donc à expliquer non pas ce que je sais du haut de mon statut de prof, mais bien ce que peu à peu, avec effort, je comprends. (Il n'est quasiment pas de cours dont je ne sorte avec une compréhension approfondie, à tel point que je ne sais parfois qui de moi ou de l'élève a le plus apporté à l'autre.)
Et je peux vous assurer que mes élèves comprennent parfaitement la distinction que je fais entre "maths apprises" et "maths comprises" : « Là, on est dans les maths comprises » me disent-ils.

Je termine ici la première partie de ma réponse.
S'il vous plaît, ne répondez pas pour l'instant, et laissez-moi exposer ce que je voudrais dire.

La suite suit. (Продолжение следует, pour ceux d'entre vous qui lisent le russe.)

Bonne fin de soirée à ceux qui veillent encore, et bonne journée de dimanche à tous.

Dernière modification par Borassus (24-11-2024 10:36:59)

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#1 21-11-2024 23:32:34

Théorème de Pythagore et triangles multiples du triangle 3, 4, 5

#2 21-11-2024 23:44:40

Re : Théorème de Pythagore et triangles multiples du triangle 3, 4, 5

#3 21-11-2024 23:49:31

Re : Théorème de Pythagore et triangles multiples du triangle 3, 4, 5

#4 21-11-2024 23:56:18

Re : Théorème de Pythagore et triangles multiples du triangle 3, 4, 5

#5 22-11-2024 00:01:36

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#6 22-11-2024 00:06:48

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#7 22-11-2024 00:10:00

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#8 22-11-2024 00:22:03

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#20 22-11-2024 14:02:43

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#21 22-11-2024 19:44:58

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#22 22-11-2024 22:27:47

Re : Théorème de Pythagore et triangles multiples du triangle 3, 4, 5

#23 22-11-2024 22:47:33

Re : Théorème de Pythagore et triangles multiples du triangle 3, 4, 5

#24 23-11-2024 13:24:58

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#25 24-11-2024 01:27:07

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