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Mrini

Invité

demontrer une egalitée

bonsoir
priere m aider a terminer cet exo
[tex]F_n(x)=\int_0^x \dfrac {e^t}{1+e^{-nt}}dt[/tex]
1) montrer que [tex]F_n[/tex] est une bijection de [tex]\mathbb R^+[/tex] vers [tex]\mathbb R^+[/tex]
2)montrer que pour tout n de [tex]\mathbb N  \exists u_n\geq 0[/tex] tel que [tex]\int_0^{u_n} \dfrac {e^t}{1+e^{-nt}}dt=1[/tex]
3) etudiez la monotonie de [tex](u_n)[/tex]
4)montrez que pour tout n entier naturel [tex]e^{u_n}-2=\int_0^{u_n}\dfrac {e^{(1-n)t}}{1+e^{-nt}}dt[/tex]

je bloque dans la derniere question
1)on montre que [tex]F_n [/tex] est continue et stricte croissante sur [tex]\mathbb R^+[/tex] pour la limite de [tex]F_n(x) [/tex] en [tex]+\infty[/tex] on peut voir facilement que  [tex]\dfrac{e^t}{1+e^{-nt}}\geq \dfrac{e^t}2[/tex]
2)th de bijection
3)on compare [tex]F_n(u_{n+1})[/tex] avec 1  la suite [tex](u_n)[/tex] est donc minorée par 0 et decroissante donc convergente

Gui82

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Re : demontrer une egalitée

Bonjour,

Tu as [tex]\displaystyle \int_0^{u_n} \frac{e^{(1-n)t}}{1+e^{-nt}}\,dt=\int_0^{u_n} \frac{e^t(e^{-nt}+1-1)}{1+e^{-nt}}\,dt=\int_0^{u_n} e^t\,dt-\int_0^{u_n} \frac{e^t}{1+e^{-nt}}\,dt[/tex]

Mrini

Invité

Re : demontrer une egalitée

Merci Gui82