Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Manal225

Invité

Exercice de mesuuure

Saluut pour tout le monde , je mets à votre disposition cet exercice de mesures-intégration ,je suis bloqué sans aucuns pistes dans la question 2.a), quelqu'un peut m'éclairer avec des idées s'ils vous plait ?

Manal225

Invité

Re : Exercice de mesuuure

https://drive.google.com/file/d/1GftbRi … sp=sharing

BigDeal

Invité

Re : Exercice de mesuuure

Bonjour,

Raisonnons par l'absurde et supposons $ (f_{n})_{n} $ non $ \mu $-bornée p.p. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $ A_{m} = \{ x  \ \vert \ f_{n}(x) \geq m \}  $ avec $ m \in \mathbb {N} $.

On a par propriété de l'intégrale de Lebesgue :

\[ \mu ( A_{m} ) \leq \frac{1}{m} \int_{X} f_{n} \mathrm{d \mu} \leq \frac{M}{m} \]

Et $ (A_{n})_{n} $ est une suite croissante au sens de l'inclusion. On a donc par propriété de la mesure (continuité de $\mu$ par limite croissante) :

\[ \mu ( \{ x \ \vert \ f_{n}(x) \geq +\infty \} ) = lim_{m \to \infty} \mu (A_{m} ) \leq lim_{m \to \infty} \frac{M}{m} \leq 0  \]

Donc $  \mu ( \{ x \ \vert \ f_{n}(x) \geq +\infty \} ) = 0 $. Cela est absurde car on avait supposé $ (f_{n})_{n} $ non bornée.

Respectueusement,
  BigDeal

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 154

Re : Exercice de mesuuure

Bonjour à tous et à toutes,

C'est dommage de vouloir donner la solution alors que Manal ne demande que des indications.

Ceci dit, que signifie qu'une suite de fonctions est bornée presque partout ? Spontanément, je dirais que cela signifie qu'il existe un ensemble $A$ dont le complémentaire est négligeable et telle que la suite des restrictions $f_n \mid A$ est uniformément bornée. Mais cela découle nullement de l'hypothèse faite.

E.