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Lune66

Invité

Boule unité d'un espace vectoriel.

Bonsoir,

On sait que la boule unité d'un espace vectoriel normé de dimension finie est compact pour la norme de cet espace vectoriel.
Quel est l'analogue de ce théorème lorsqu'il s'agit d'un espace vectoriel topologique localement convexe muni d'une famille de semi-normes au lieu d'une norme ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Boule unité d'un espace vectoriel.

Bonjour,

  Sur un espace vectoriel de dimension finie, il n'existe qu'une seule topologie qui soit compatible avec l'addition et le produit externe. Ainsi, tu peux toujours supposer que ta topologie est définie par une norme et non par une famille de semi-normes, et le résultat persiste donc.

F.

Eust_4che

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Re : Boule unité d'un espace vectoriel.

Bonjour tout le monde,

L'unicité ne vaut que si la topologie de départ est séparée. Il peut y avoir plusieurs topologies localement convexe sur un espace de dimension finie $n$ (les topologies images réciproques de $\mathbf R^p$ pour $p \leq n$).

Le résultat énoncé par Lune66 est une équivalence : pour qu'un espace normé soit de dimension finie, il faut et il suffit que sa boule unité soit compacte. On peut le voir comme un cas particulier d'un théorème plus général : un espace vectoriel topologique séparé $E$ sur un corps valué complet et non discret $K$ qui admet un voisinage de l'origine précompact est nécessairement de dimension finie. Inversement, si $K$ est localement compact et $E$ de dimension finie (et supposé séparé), $E$ est localement compact.

E.

Fred

Administrateur

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Re : Boule unité d'un espace vectoriel.

Ah les topologies non séparées !

Lune66

Invité

Re : Boule unité d'un espace vectoriel.

Bonsoir,

Merci beaucoup Fred et Eust_4che pour toutes ces précisions.

Ici, http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/eco … ectres.pdf , page, 12, on trouve un passage amusant qui dit,

Un opérateur sur un espace de Hilbert [tex]\mathcal{H}[/tex] est une application linéaire continue, [tex]F \ : \ \mathcal{H} \to \mathcal{H}[/tex] ( Ce qui revient à dire qu'elle est bornée sur la boule unité fermée ).

Quel est l'analogue de ce passage si on remplace [tex]\mathcal{H}[/tex] par un espace vectoriel topologique localement convexe muni d'une famille de semi-normes au lieu d'une norme ?.

Merci d'avance.

Eust_4che

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Re : Boule unité d'un espace vectoriel.

Bonjour à tous,

Il n'y en a pas.

Le fait de savoir si une application entre deux espaces localement convexes (ou deux espaces vectoriels topologiques) est continue dès qu'elle est bornée suppose déjà d'avoir une notion de "parties bornées" : https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_bo … opologique, à partir de laquelle on définit la notion de fonctions bornée.

Pour les espaces localement convexes, on peut démontrer que les espaces satisfaisant la propriété suivante "toute application bornée est continue" sont les espaces qui sont limites inductives d'espaces localement convexes normés. En dehors des espaces localement convexes, c'est encore moins simples. On doit parler d'espaces vectoriels "bornologiques", puis de "topologiques bornologiques". Le chap. 1 de "Théorie des bornologiques et applications" de Hogbe-Nlend traite rapidement de la question.

E.