Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

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Limite supérieure

Bonjour,

J'essaie de montrer que pour tout nombre réel [tex]L[/tex], si [tex]\lim \sup x_n<L[/tex], alors [tex]x_n<L[/tex] à partir d'un certain rang.

Pour cela, je reviens à la définition de la limite supérieure, soit [tex]\lim \sup x_n=\inf\{x_k,k\ge n\}[/tex].
D'autre part, pour tout [tex]\epsilon>0[/tex], il existe un [tex]k\ge n[/tex] tel que [tex]\lim \sup x_n\le x_k <\lim \sup x_n+\epsilon<L+\epsilon[/tex].

Je ne vois pas bien comment conclure. Pourriez-vous m'aiguiller ?

Merci

Fred

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Re : Limite supérieure

Bonjour,

  Tu as perdu lorsque tu écris $\limsup x_n+\epsilon<L+\epsilon.$
Il faut d'abord que tu choisisses ton $\epsilon$ assez petit, par exemple pour que $\limsup x_n+\epsilon<L.$
D'autre part, pour le moment, tu as un problème de quantificateurs. Qui est ton n?
Et tu veux une inégalité pour tous les termes à partir d'un certain rang.

F.

DeGeer

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Re : Limite supérieure

Bonjour
Tout d'abord, il faut que tu écrives soigneusement la définition de la limite supérieure d'une suite de réels, puis que tu te ramènes à un calcul sur les limites de suites réelles.
Petit exercice intermédiaire :
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels de limite $\ell$ et $a > \ell$. Montrer qu'à partir d'un certain rang, les $u_n$ sont inférieurs à $a$.

Vincent62

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Re : Limite supérieure

Merci à vous deux pour vos explications !

Voici ce que je propose.

Soit [tex]L'=\lim \sup u_n=\lim v_n[/tex] où [tex]v_n=\sup\{u_k,k\ge n\}[/tex].

Soit [tex]L[/tex] tel que [tex]L'<L[/tex].
D'une part, par convergence de la suite [tex](v_n)[/tex] vers [tex]L'[/tex], on a [tex]\forall \epsilon>0, \exists N_{\epsilon}\in \mathbb{N}, \forall n\ge N_{\epsilon}, L'-\epsilon<v_n<L'+\epsilon[/tex]. En particulier, pour [tex]\epsilon=L-L'>0[/tex], on obtient que [tex]\exists N_{\epsilon}\in \mathbb{N}, \forall n\ge N_{\epsilon}, v_n<L[/tex].

D'autre part, pour un tel [tex]n[/tex], on a [tex]\forall k\ge n, u_k\le v_n<L[/tex], d'où le résultat.

bridgslam

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Re : Limite supérieure

Bonsoir,

Si les termes de la suite supérieurs ou égaux à L étaient en quantité infinie, on pourrait extraire de la suite une suite de limite finie ou infinie au moins égale à L.
C'est impossible car la plus grande valeur d'adhérence de la suite est finie et < L.
Ainsi seuls un nombre fini de termes peuvent être minorés par L.

A.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."