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101bendri.samad

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une inégalité un peu farfelue

Bonjour à tous

Je cherche des indications pour prouver cette inégalité :
$
\displaystyle{
\bf
\frac{ab}{3a+4b+5c} +\frac{bc}{3b+4c+5a} +\frac{ca}{3c+4a+5b} \\
+ \frac{1}{32}\left( ab(a-b^2) + bc(b-c)^2  + ca(c-a)^2 \right)  \leq \frac{ab+bc+ca+1}{16}
}
$
Où a ,b et c étant des nombres réels positifs tels que  : $a+b+c=1$

J’ai éssayé : Cauchy-Swharz et  AM-GM sans résultats
Merci

Dernière modification par 101bendri.samad (14-04-2024 13:16:36)

Borassus

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Re : une inégalité un peu farfelue

Bonjour,

Bien que me sentant pour l'instant totalement incapable de démontrer cette inégalité effectivement pour le moins farfelue — je me vois mal la franciser pour lui donner un sens général ! —, je pense qu'il faut lire $\dfrac{1}{32}\left( ab(a-b)^2 + \ldots \right)$

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

101bendri.samad

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Re : une inégalité un peu farfelue

Bonjour

Et si on supprime le terme $\frac{1}{32} (a(a-b)^2....)$
Et l’inégalité devient : $
\displaystyle{
\bf
\frac{ab}{3a+4b+5c} +\frac{bc}{3b+4c+5a} +\frac{ca}{3c+4a+5b}
\leq \frac{ab+bc+ca+1}{16}
}
$

Alors deviendra elle plus facile ?

Dernière modification par 101bendri.samad (14-04-2024 10:53:23)

Borassus

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Re : une inégalité un peu farfelue

Bonjour,

Il est possible que oui !

Mais il faut alors spécifier à quelle(s) condition(s) cette suppression peut être effectuée.

Il y a par ailleurs une symétrie entre les trois nombres qui me fait penser que la solution doit être simple si on sait tirer le bon bout du nœud.

Plusieurs observations m'interpellent, mais je ne sais si elles peuvent représenter une piste :

1) L'alternance ab, bc, ac me fait penser au développement de $(a + b + c)^2$.

2) Les coefficients 3, 4, 5 me font penser au célèbre triplet pythagoricien $5^2 = 3^2 + 4^2$

3) 16 est le carré de 4 et est égal à $2^4$.

4) 32 est égal à $2 ^5$

Mais je ne sais aller au-delà de la vague intuition générée par ces observations.

Bon courage dans tes recherches !

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yoshi

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Re : une inégalité un peu farfelue

Bonjpur,

J'ai fini par me dire : j'ai déjà un truc "tordu" dans ce genre, alors j'ai cherché...
Et trouvé : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16154

Et, surprise ! L'auteur, c'était déjà toi ,101bendri.samad, l'auteur...
Bon, c'était "un peu moins " pénible !

Il semblerait que tu n'aies pas de certitude sur l'énoncé exact ?
Peux-tu confirmer l'énoncé ?

@+

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

101bendri.samad

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Re : une inégalité un peu farfelue

Bonjour et merci pour votre réponse
La 1ere inégalité implique la 2eme .
Donc : si on peut avoir des indications  pour l’une des deux c’est bien.

Borassus

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Re : une inégalité un peu farfelue

La 1ere inégalité implique la 2eme.

Effectivement, car le terme en $\dfrac 1 {32}$ est nécessairement positif.
Au temps pour moi.

Mais que fait cette inégalité farfelue dans le forum Collège/Lycée ??
(A voir ta discussion repérée par Yoshi, on est très loin du niveau de lycée !)

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DrStone

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Re : une inégalité un peu farfelue

Bonjour.

Je n'ai pas le temps de tenter quelque chose là tout de suite ; ce qui est malheureux, car cette inégalité semble très amusante !
Néanmoins je poste afin de souligner que pour une telle inégalité sentant bon les inégalités types des Olympiades (donc tout à fait à propos, malgré ce qu'en dit notre bon ami Borassus, pour un forum collège-lycée ^_^), il me semble que le meilleur document à garder sous la main de sorte à disposer de toutes les stratégies de résolutions, se trouve être le Cours Olympique sur les inégalités classiques de Pierre Bornsztein.

yoshi

Modo Ferox

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Re : une inégalité un peu farfelue

Re,

Wow !
Ton lien est une vraie mine de diamant...

@+

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DrStone

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Re : une inégalité un peu farfelue

Bonsoir yoshi.

Oui, les documents Olympiques sont très complets ! Je serais presque jaloux des élèves d'aujourd'hui qui y ont accès, alors qu'à nos époques, la voix du professeur était le seul son de cloche auquel nous avions le droit… d'un autre côté, quand on voit la formation initiale… d'un coup ma jalousie retombe. x=)

Quoi qu'il en soit, de nombreux documents sont accessibles à tous que ce soit, à titre d'exemples, de la formation olympique française ou encore de la formation olympique suisse (il suffit de sélectionner son sujet préféré et de cliquer sur "fr" pour avoir la version française… suisse multi-lingue oblige) où quasiment tous les documents disposent d'une version française.

Bien entendu, aucun n'est meilleur que l'autre et ils ont chacun leurs forces et leurs faiblesses. Ainsi donc, par exemple, si je préfère le document français cité plus haut sur les inégalités, je préfère néanmoins le document suisse sur les équations fonctionnelles à la version française. Mais ce n'est qu'une question de goûts et de couleurs. ^_^

Dernière modification par DrStone (14-04-2024 19:40:49)

Borassus

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Re : une inégalité un peu farfelue

Bonsoir,

Je sens que je vais me plonger dans ces documents, histoire d'apprendre des exos intéressants que je pourrai transmettre à certains de mes élèves.
Merci Doc !

J'aurais dû écrire « Si cette inégalité est du même acabit que celle repérée par yoshi [...] »

Mais le bon ami Borassus a aussi écrit plus haut « Il y a par ailleurs une symétrie entre les trois nombres qui me fait penser que la solution doit être simple si on sait tirer le bon bout du nœud. ».

A voir donc si cette inégalité est du même ordre que la première publiée par 101bendri.samad, ou si effectivement elle se résout facilement (et donc élégamment) pour peu qu'on sache tirer le bon bout du nœud.  :-)

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Borassus

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Re : une inégalité un peu farfelue

L'alternance ab, bc, ac me fait penser au développement de $(a + b + c)^2$.

Je vais un tout peu plus loin dans mon intuition (peut-être fausse) :

Le fait que $a + b + c = 1$ entraîne

$(a + b + c)^2  = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1$

D'où $ab + bc + ca = \dfrac {1 - a^2 - b^2 - c^2} 2$

Je ne sais pour l'instant pas aller plus loin. Est-ce une voie exploitable ?

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