Polygones et polyèdres, façon paramétrique !

Bernard-maths · 08-04-2024 15:47:31

Bonjour à tous !

Je me suis jusqu'à présent cantonné aux équations cartésiennes, que j'aime bien. Mais les difficultés se présentent vite pour des polygones ou polyèdres non convexes ... ou de formes bizarres. Néanmoins j'avance peu à peu.

Je viens de me tourner vers les équations paramétriques ... un côté de polygone, ou une face polygonale de polyèdre semble à priori assez simple à trouver. Mais les formules deviennent longues ...

Un autre aspect favorable pour moi, c'est que c'est assez facile à développer sur GeoGebra ! Alors que je ne maitrise pas bien Mapple, et je n'ai pas envie de "perdre" mon temps ...

Je vais donc ici vous présenter ce que j'ai commencé à faire avec un octaèdre (régulier au début). L'image :

Le programme GeoGebra : https://www.cjoint.com/doc/24_04/NDioJY … 03-25.docx

Alors nous avons ici les deux aspects : lignes et surfaces ...

Les lignes se tracent avec la commande "Courbe" : https://wiki.geogebra.org/fr/Commande_Courbe

Les surfaces avec "Surface" : https://wiki.geogebra.org/fr/Commande_Surface

J'ai donc procédé en plusieurs étapes (après avoir tout mélangé) : d'abord le squelette composé de 3 carrés, puis les faces ...

Sans le tracé du squelette, on peine à voir les arêtes limites de 2 faces. D'où l'intérêt de tracer ce squelette !???

Dernière modification par Bernard-maths (08-04-2024 16:30:43)

Bernard-maths · 08-04-2024 16:04:00

Je passe à la suite ...

Je vous donne les équations trouvées pour les 3 courbes, (et puis plus tard les 2 surfaces) :

a1 : Courbe(
Si(t < 1, (1 - t) x(A) + t x(B), Si(t < 2, (2 - t) x(B) + (t - 1) x(C), Si(t < 3, (3 - t) x(C) + (t - 2) x(D), (4 - t) x(D) + (t - 3) x(A)))), Si(t < 1, (1 - t) y(A) + t y(B), Si(t < 2, (2 - t) y(B) + (t - 1) y(C), Si(t < 3, (3 - t) y(C) + (t - 2) y(D), (4 - t) y(D) + (t - 3) y(A)))), Si(t < 1, (1 - t) z(A) + t z(B), Si(t < 2, (2 - t) z(B) + (t - 1) z(C), Si(t < 3, (3 - t) z(C) + (t - 2) z(D), (4 - t) z(D) + (t - 3) z(A)))), t, 0, 4)

a2 : Courbe(
Si(t < 1, (1 - t) x(A) + t x(N), Si(t < 2, (2 - t) x(N) + (t - 1) x(C), Si(t < 3, (3 - t) x(C) + (t - 2) x(S), (4 - t) x(S) + (t - 3) x(A)))), Si(t < 1, (1 - t) y(A) + t y(N), Si(t < 2, (2 - t) y(N) + (t - 1) y(C), Si(t < 3, (3 - t) y(C) + (t - 2) y(S), (4 - t) y(S) + (t - 3) y(A)))), Si(t < 1, (1 - t) z(A) + t z(N), Si(t < 2, (2 - t) z(N) + (t - 1) z(C), Si(t < 3, (3 - t) z(C) + (t - 2) z(S), (4 - t) z(S) + (t - 3) z(A)))), t, 0, 4)

a3 : Courbe(
Si(t < 1, (1 - t) x(B) + t x(N), Si(t < 2, (2 - t) x(N) + (t - 1) x(D), Si(t < 3, (3 - t) x(D) + (t - 2) x(S), (4 - t) x(S) + (t - 3) x(B)))), Si(t < 1, (1 - t) y(B) + t y(N), Si(t < 2, (2 - t) y(N) + (t - 1) y(D), Si(t < 3, (3 - t) y(D) + (t - 2) y(S), (4 - t) y(S) + (t - 3) y(B)))), Si(t < 1, (1 - t) z(B) + t z(N), Si(t < 2, (2 - t) z(N) + (t - 1) z(D), Si(t < 3, (3 - t) z(D) + (t - 2) z(S), (4 - t) z(S) + (t - 3) z(B)))), t, 0, 4)

J'ai un peu détaillé pour la 1ère courbe a1 : la partie en couleur, chaque couleur est pour les abscisses, pour les ordonnées, et pour les cotes. La courbe a1 est composée des 4 segments en suivant le carré ABCD. On va utiliser un paramètre t, variant (c'est nous qui décidons ...) de 0 à1 pour AB, de 1 à 2 pour BC, de 2 à 3 pour Cd et de 3 à 4 pour DA; D'où en abscisse le 1er Si t<1 ... puis Si t<2 ...puis Si t<3 ... MAIS pour t >3 (et donc <4) on utisise le "sinon" du dernier Si ... COGITARER !!!

Les choses se répètent en ordonnées, et en cotes.

Dernière modification par Bernard-maths (09-04-2024 08:39:56)

Bernard-maths · 09-04-2024 08:38:34

Bonjour à tous !

Bon, je suis pressé et vais être absent 1 semaine. Bien sûr je egarderai un peu ... mais rapidement.

Alors, en fait, mon idée de départ était de vous proposer un (petit ?) exercice ...

Serez vous capable d'écrire une seule équation (au lieu de 3) pour tracer le squelette de l'octaèdre, c'est à dire les 3 carrés ???

Je sais que ce n'est pas évident du tout mais ... courage aux téméraires !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (09-04-2024 08:39:11)

Roro · 09-04-2024 11:16:07

Bonjour,

Bernard-maths a écrit :

Serez vous capable d'écrire une seule équation (au lieu de 3) pour tracer le squelette de l'octaèdre, c'est à dire les 3 carrés ???

Je crois que Michel Coste t'avait déjà répondu de manière générale : si tu as 3 équations, disons $f=0$, $g=0$ et $h=0$, tu peux les remplacer par l'unique équation $f^2+g^2+h^2=0$...

Roro.

Bernard-maths · 09-04-2024 12:56:12

Bonjour Roro !

1) Je demande une formule développée adaptée pour 12 !

2) Avec des formules paramétriques f, g, h ... le f² + g² + h² nul fonctionne comment (sur GeoGeba) ?

3) Après il y aura les surfaces ...

Cordialement,

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (09-04-2024 12:56:56)

Michel Coste · 12-04-2024 10:41:10

Bonjour,

Je préfère noter les sommets de l'octaèdre A+ et A- sur un axe, B+ et B- sur un deuxième axe et C+ et C- sur un troisième. On parcourt alors les arêtes en répétant le motif ABC sur les lettres et ++-- sur les signes.

Voir Circuit eulérien sur les arêtes de l'octaèdre

M=Si(t<1,(1-t)*Ap+t*Bp,Si(t<2,(2-t)*Bp+(t-1)*Cm,Si(t<3,(3-t)*Cm+(t-2)*Am,Si(t<4,(4-t)*Am+(t-3)*Bp,Si(t<5,(5-t)*Bp+(t-4)*Cp,Si(t<6,(6-t)*Cp+(t-5)*Am,Si(t<7,(7-t)*Am+(t-6)*Bm,Si(t<8,(8-t)*Bm+(t-7)*Cp,Si(t<9,(9-t)*Cp+(t-8)*Ap,Si(t<10,(10-t)*Ap+(t-9)*Bm,Si(t<11,(11-t)*Bm+(t-10)*Cm,(12-t)*Cm+(t-11)*Ap)))))))))))

Correction en rouge.

Dernière modification par Michel Coste (13-04-2024 18:10:37)

Bernard-maths · 13-04-2024 16:17:17

Bonjour Michel !

Merci pour cette promenade ... avec Euler (;-)

Je pense que A+ c'est Ap, etc ...

A tout hasard, aurais tu la même chose pour les faces ... ? Que je vais demander plus tard ...

B-m

PS : en reportant "chez moi", ça coince ... faut que je débogue.

Dernière modification par Bernard-maths (13-04-2024 16:31:15)

Michel Coste · 13-04-2024 18:08:34

Bonjour,

Qu'est-ce qui coince ? Ah oui, une coquille non corrigée. Voila, c'est corrigé.

Dernière modification par Michel Coste (13-04-2024 18:09:35)

Bernard-maths · 13-04-2024 20:21:55

Bonsoir !

Bien corrigé, merci ! Je connais ce genre de formule. Mais je cherche des équations, donc la formulation doit être différente ...?

Et pour les surfaces il faut 2 paramètres. Je n'ai pas cherché de cette façon (très intéressante), mais uniquement avec les coordonnées ... pour le moment.

@ +, B-m

Michel Coste · 14-04-2024 07:38:06

Bon dimancche,
Qu'appelles-tu "équation" ? Plus haut tu écrivais "je vous donne des équations ...".

Bernard-maths · 14-04-2024 08:31:10

Bonjour ! Bonnes vacances (scolaires).

Equation ? Il y a équation et équation ... Pour moi une équation est une "formulation" qui permet de déterminer (sans ambiguïté) un "objet".

En maths on utilise couramment des équations faisant intervenir les coordonnées des points : cartésiennes, paramétriques ...

Ces dernières années, j'ai surtout cherché des équations cartésiennes. Je me tourne maintenant vers les équations paramétriques sur les coordonnées.

En 2024 nous avons des ordinateurs et des logiciels capables de tracer des "objets" si on leur en donne une "équation". MAIS ces logiciels n'acceptent pas n'importe quel type d'équation !

Et si ils "acceptent" l'écriture de l'équation, ils n'en tracent pas forcément l'objet concerné !

Et ces équations ne sont pas toujours "compatibles" entre-elles ...

ALORS, le chemin Eulérien sur octaèdre est une équation, oui, qui permet de tracer les 12 arêtes d'un octaèdre. Avec une possibilité de combiner des points et des nombres.

Moi je cherche pareil, mais avec des coordonnées, pour le moment !

Cela te convient-il ? Tu peux discuter ... (:-)

Bonne journée, je vais fêter un "80 ans" !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (14-04-2024 08:32:22)

Michel Coste · 14-04-2024 14:21:36

Moi je cherche pareil, mais avec des coordonnées, pour le moment !

Ben, c'est tout bête : il suffit de recopier 3 fois la la formule que j'ai donnée en remplaçant "point" respectivement pas "x(point)", "y(point)"; "z(point)".

Bernard-maths · 14-04-2024 16:30:47

Ben oui, tout simplement !

En fait il faut utiliser la commande "Courbe" qui intègre les 3 coordonnées, et qui , en fin, détermine les variations du paramètre "t" ...

Donc prolonger la formule que j'ai donnée ... avec "t" jusqu'à 12 ...

J'en suis à la moitié des "80 ans", la suite ce soir !

B-m

Michel Coste · 15-04-2024 21:31:55

Bonsoir,

On peut remplacer les "Si" :

M = max((1-t),0) *Ap +
max(min(t,2-t),0) *Bp +
max(min(t-1,3-t),0) *Cm +
max(min(t-2,4-t),0) *Am +
max(min(t-3,5-t),0) *Bp +
max(min(t-4,6-t),0) *Cp +
max(min(t-5,7-t),0) *Am +
max(min(t-6,8-t),0) *Bm +
max(min(t-7,9-t),0) *Cp +
max(min(t-8,10-t),0)*Ap +
max(min(t-9,11-t),0)*Bm +
max(min(t-10,12-t),0)*Cm +
max(t-11,0) *Ap

avec t dans [0,12].
On pourra faire un peu pareil pour paramétrer la surface de l'octaèdre.

Dernière modification par Michel Coste (15-04-2024 21:32:41)

Bernard-maths · 16-04-2024 08:15:43

Bonjour !

Je serai "opérationnel à nouveau" en fin de semaine ...

Je vais tester les propositions de Michel, et voir ce qu'on peut en faire aussi en 3D ...

Merci pour tes interventions.

B-m

Bernard-maths · 23-04-2024 16:20:56

Bonjour Michel !

Je viens d'essayer ta formule sur GeoGebra, et ça tourne bien, génial !

B-m

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#1 08-04-2024 15:47:31

Polygones et polyèdres, façon paramétrique !

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#3 09-04-2024 08:38:34

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