Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Alex27

Membre

Inscription : 07-09-2023

Messages : 13

Récurrence

Bonjour, il m'est demandé de calculer par récurrence l'integrale de 1 à e de ln(x)^n qu'on nomme J(n). Après une ipp, on trouve la relation J(n) = e-n×J(n-1) et J(0) = e-1. Auriez-vous une idée pour calculer le terme général ? J'ai trouvé J(n) = u(n)×e + (-1)^(n+1)×n!×J(0) avec u(0) = 0 et u(n+1)= -n×u(n)+1 mais je n'arrive pas à déterminer u(n). Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Récurrence

Bonsoir,
Je réécris tes intégrales en latex pour qu'on y voit plus clair
$$J_n := \int_1^e \ln(x)^n dx.$$
Tu as prouvé que pour $n\geq 1$ alors
$$J_n =e-nJ_{n-1}.$$
Je te conseille de faire apparaître un téléscopage, une première étape serait par exemple de diviser par $n!$ peut être faudra-t-il faire autre chose...
Bonne soirée

Alex27

Membre

Inscription : 07-09-2023

Messages : 13

Re : Récurrence

Merci pour ta réponse, j'ai pu avancer grâce à elle !  En divisant pas n!, j'obtiens J(n)/n! = e[somme de k=1 à n de [(-1)^(n-k)]/k!] + (-1)^n × J(0) mais je n'arrive pas à trouver le télescopage dont tu parles. En détaillant j'ai, pour la somme : 1-n(1-(n-1)(1-(n-2)(1-(n-3)... etc... mais je ne sais pas la calculer. Aurais-tu un autre indice ? J'ai aussi essayé de faire apparaître un coefficient binomial dans ma somme mais ça n'a pas abouti.

Glozi

Invité

Re : Récurrence

Bonjour,
Je n'ai pas vérifié ta formule mais je ne pense pas qu'on obtiendra beaucoup mieux.
Pour voir directement le télescopage, au lieu de diviser par $n!$ il faut diviser par $(-1)^nn!$ ce qui donne
$$\frac{(-1)^n}{n!}J_n - \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}J_{n-1}=\frac{(-1)^n}{n!}e$$
et donc en sommant $\frac{(-1)^n}{n!}J_n - \frac{(-1)^0}{0!}J_0 = e\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$
Puisque $J_0=e-1$ on peut écrire $\frac{(-1)^n}{n!}J_n = e\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} - 1$
Et donc $J_n = n!(-1)^n(e\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}-1)$
je ne pense pas que ça se simplifie beaucoup plus...
Si on veut avoir une idée du comportement asymptotique à l'aide de cette formule, il faudrait je pense écrire $1=e\times e^{-1}=e\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}$
Ce qui donne donc
$$J_n = e n!(-1)^{n-1}\sum_{k=n+1}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}.$$
On peut facilement avoir des estimées sympas sur $\sum_{k=n+1}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}$.
Je te laisse poursuivre si tu veux.

(il y a plus simple pour trouver un équivalent de $J_n$ sans utiliser la formule close).
Bonne journée

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Récurrence

Bonjour,
Pas de formule close simple pour le coeffcient de $e$, apparemment : https://oeis.org/A182386

Alex27

Membre

Inscription : 07-09-2023

Messages : 13

Re : Récurrence

Merci beaucoup ! Je crois que mon exercice demandait simplement d'exprimer la relation de récurrence en fait ?. Merci en tout cas pour tes précisions et ta réactivité, joli le coup du e×e^1 !