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Vincent62

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Système dynamique associé à une fonction

Bonsoir à toutes et à tous,

Soit [tex]f[/tex] une fonction croissante de [tex][0;1][/tex] dans [tex][0;1][/tex]. J'ai démontré qu'alors [tex]f[/tex] admettait un point fixe.
On me demande ensuite d'étudier le système dynamique associé à [tex]f[/tex].
Je ne comprends pas bien ce qui est demandé.

Dans le corrigé, on considère [tex]x_0\in [0;1][/tex] tel que [tex]f(x_0)\ge x_0[/tex], et on montre alors que la suite [tex](x_n)[/tex] définie par [tex]x_{n+1}=f(x_n)[/tex] est croissante.
Je ne vois pas en quoi ces hypothèses interviennent ici, puisque, par croissance de [tex]f[/tex], on montre par récurrence que la suite [tex](x_n)[/tex] est croissante.

Ensuite, on considère le cas où [tex]f[/tex] n'est pas strictement croissante. On dit qu'il existe alors [tex]n\ge 0[/tex] tel que [tex]x_{n+1}=f(x_n)=x_n[/tex] et qu'alors, pour tout m strictement plus grand que [tex]n[/tex], on a encore [tex]x_m=x_n[/tex].
Ici, on a juste dit que si [tex]f[/tex] n'est pas strictement croissante, alors elle est croissante (par exemple), et donc elle admet un point fixe, c'est bien ça ?

Enfin, on dit que dans le cas contraire, en posant [tex]l=\lim_n x_n[/tex], on trouve que [tex]f^{-}=\lim_n f(x_n)=l[/tex]. Bon là, je ne vois pas, car la fonction n'est pas supposée conitnue.

Il y a un dernier cas, que j'ai réussi à traiter, celui où [tex]f[/tex] est supposée monotone.

Merci d'avance pour votre aide.

Dernière modification par Vincent62 (04-02-2024 20:54:58)

Fred

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Re : Système dynamique associé à une fonction

Bonjour,

  Attention, la croissance de $f$ n'entraîne pas que la suite $(u_n)$ est croissante, mais simplement qu'elle est monotone.
Pour démontrer qu'elle est croissante (ou décroissante), il faut étudier la position des deux premiers termes.

Je ne comprends pas ensuite ce qui est dit si $f$ n'est pas strictement croissante. Je peux trouver une fonction $f:[0,1]\to[0,1]$ croissante
et non strictement croissante telle que la suite $(x_n)$ définie par $x_0=0$ et $x_{n+1}=f(x_n)$ n'est pas stationnaire.

F.

Vincent62

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Re : Système dynamique associé à une fonction

Bonjour Fred,

Mais bien sûr, merci ! [tex]f(x_0)=x_1[/tex]. J'avais zappé l'initialisation du raisonnement par récurrence.

As-tu une idée pour cette histoire de [tex]f^-[/tex] ?

Glozi

Invité

Re : Système dynamique associé à une fonction

Bonsoir,
Quelle est ta définition de $f^-$ ? Sinon en posant $f : x \mapsto \begin{cases}(1+2x)/4 &\text{si }x<1/2 \\ 1 \text{ sinon }\end{cases}$, alors si $x_0=1$ on a $x_n \to 1/2$, pourtant $f(1/2)\neq 1/2$.

▼peut-être

Si on pose pour $x>0$, $f^{-}(x) := \sup\{f(y) |y<x\}$, alors si $(x_n)_n$ définie via $x_{n+1}=f(x_n)$ est strictement croissante, alors $x_n \to \ell$ avec $f^{-}(\ell)=\ell$.
En effet, notons $\ell$ la limite croissante de $(x_n)_n$. Montrons que $\sup\{f(y) |y<\ell\}=\ell$. Si $y<\ell$ on a pour $n$ assez grand $y<x_n \leq \ell$ et donc $f(y)\leq x_{n+1}$ en faisant tendre $n$ vers l'infini on trouve $f(y)\leq \ell$. Ainsi $\sup\{f(y) |y<\ell\} \leq \ell$. D'autre part, on a $x_n < \ell$ et aussi $f(x_n)=x_{n+1}\to \ell$. Ceci montre $\sup\{f(y) |y<\ell\} \geq \ell$ d'où la conclusion.

Notons que si $(x_n)_n$ est croissante mais pas strictement croissante alors c'est qu'on a $k$ tel que $x_k=x_{k+1}$ ie $f(x_k)=x_k$. et donc $x_k$ est un point fixe de $f$ et la suite sera constante à partir d'un certain rang sur ce point fixe.

Ainsi dans le cas $x_1\geq x_0$ alors la limite $\ell$ de $(x_n)$ est ou bien un point fixe de $f$ ou bien un pont fixe de $f^-$ (possiblement les deux à la fois si $f$ est continue en $\ell$).

Bonne soirée