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Vincent62

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Fonction harmonique

Bonjour,

Dans un exemple d'un cours d'analyse complexe, on se donne une fonction [tex]f[/tex] harmonique sur la couronne [tex]C(0,r_1,r_2)[/tex] avec [tex]0\le r_1<r_2[/tex].
On affirme ensuite que pour tout [tex]r\in ]r_1,r_2[[/tex], la fonction qui à z associe [tex]Mf(z)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta}z)d\theta[/tex] est harmonique !

Alors j'ai essayé de le démontrer, tout d'abord en montrant que [tex]\frac{\partial^2 Mf}{\partial x^2}(z)+\frac{\partial^2 Mf}{\partial y^2}(z)=0[/tex].
Pour cela, j'écris que [tex]h(x,y)=Mf(z)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(\varphi(x,y))d\theta[/tex] avec [tex]\varphi(x,y)=rxe^{i\theta}+irye^{i\theta}[/tex].
Cela revient donc à calculer [tex]df\circ\varphi (x,y)=df(\varphi(x,y))\circ d(\varphi(x,y))[/tex]. Puis on calculerait la différentielle seconde.
Est-ce ainsi qu'il faut procéder, où y a-t-il plus simple ?

Merci pour vos indications !

Dernière modification par Vincent62 (01-11-2023 16:42:05)

Michel Coste

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Re : Fonction harmonique

Bonjour,
Peux-tu revoir ta formule ? Aucun $z$ à droite du signe $=$. Est-ce que $z=r$ ???

Vincent62

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Re : Fonction harmonique

Bonjour Michel,
Effectivement, le z s'était fait la malle !

Michel Coste

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Re : Fonction harmonique

Mezalor, qui est $r$ ???

Vincent62

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Re : Fonction harmonique

Je viens de le modifier. Il fallait lire "pour tout [tex]r\in ]r_1,r_2[[/tex]", désolé.

Michel Coste

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Re : Fonction harmonique

Où est définie $Mf$ ?

Vincent62

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Re : Fonction harmonique

Rien n'est précisé dans l'exemple.
Dans tous les cas, je présume que [tex]Mf(r)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta})d\theta[/tex] est la valeur moyenne de [tex]f[/tex] sur le cercle [tex]C(0,r)[/tex], pour tout [tex]r\in ]r_1;r_2[[/tex], et on affirme que l'application [tex]z\to Mf(z)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta}z)d\theta[/tex] est harmonique.

Michel Coste

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Re : Fonction harmonique

Ton histoire n'est pas claire ! Maintenant tu as un $Mf(r)$ ...

Dernière modification par Michel Coste (01-11-2023 17:02:30)

Vincent62

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Re : Fonction harmonique

Oui, j'ai été brouillon là.

Bon, on explique que la valeur moyenne de f sur le cercle C(0,r) est donnée par Mf(r), puis explique que [tex]z\to Mf(z)[/tex] est harmonique.

Vincent62

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Re : Fonction harmonique

Bon, il y a manifestement une erreur, et il faut montrer que [tex]z\to Mf(z)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(ze^{i\theta})d\theta[/tex] est harmonique, sachant que [tex]f[/tex] l'est.

Dernière modification par Vincent62 (01-11-2023 18:18:46)

Michel Coste

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Re : Fonction harmonique

???
Écoute, reprends tout clairement depuis le début, on gagnera du temps.

Vincent62

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Re : Fonction harmonique

Soit [tex]f[/tex] une fonction harmonique sur la couronne [tex]C(0,r_1,r_2)[/tex] avec avec [tex]0\le r_1<r_2[/tex].

On note, pour tout [tex]r\in ]r_1;r_2[[/tex], [tex]Mf(r)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta})d\theta[/tex] la valeur moyenne de [tex]f[/tex] sur le cercle [tex]C(0,r)[/tex].
Alors la fonction [tex]z\to Mf(z)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta}z)d\theta[/tex] est harmonique.

C'est écrit tel quel, avec le [tex]z[/tex] qui se balade après l'exponentielle. Il y a manifestement une erreur, puisque [tex]Mf(z)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta})d\theta[/tex]