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#3 01-09-2023 16:12:07
- Gui82
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Re : (-1)^n
Bonjour,
On peut dire que 1 est la limite de la suite extraite [tex](u_{2n})_n[/tex] et -1 la limite de la suite extraite [tex](u_{2n+1})_n[/tex] (où [tex]u_n=(-1)^n[/tex]), ce sont des valeurs d'adhérence de la suite (et les seules)
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#4 01-09-2023 16:42:03
- Henderson
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Re : (-1)^n
Bonjour,
On peut dire que 1 est la limite de la suite extraite [tex](u_{2n})_n[/tex] et -1 la limite de la suite extraite [tex](u_{2n+1})_n[/tex] (où [tex]u_n=(-1)^n[/tex]), ce sont des valeurs d'adhérence de la suite (et les seules)
Oui je t'es compris .
Mais je veux juste savoir si cette phrase est vraie en maths sans parler de suites extraites :
La limite de (-1)^n vaut 1 si n pair et (-1) si n impair ?
Merci.
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#7 01-09-2023 18:46:27
- Henderson
- Membre
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Re : (-1)^n
Non, la limite est unique (si elle existe) et prend en compte l'ensemble des indices à partir d'un certain rang.
Pour les indices, est-ce que les indices doivent être successifs les uns après les autres pour parler d'une limite ??
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#8 01-09-2023 20:00:28
- Gui82
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Re : (-1)^n
Oui, parce que c'est tous les termes de la suite à partir d'un certain rang qui doivent être aussi proches que l'on veut de la limite. Formellement, la définition de "[tex]u_n[/tex] converge vers [tex]l[/tex]" est :
[tex]\forall \epsilon>0,\,\exists N \in \mathbb{N}[/tex] tel que [tex]\forall n \ge N,\, |u_n-l|\le\epsilon[/tex], donc c'est bien tous les indices à partir du rang N.
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#9 02-09-2023 11:18:26
- bridgslam
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Re : (-1)^n
Bonjour,
la limite éventuelle d'une suite (ou d'une fonction ) selon une partie peut toujours être considérée, cela revient ( voir un débat récent avec Glozi et Michel Coste ) à considérer la limite éventuelle de la restriction de la suite à cette partie, selon les conventions généralement admises.
Ici en rajoutant ... et n pair .... avec l=1 ou bien ... et n impair ... avec l = -1 dans les définitions précédentes, cela rejoint plus ou moins votre définition avec des "si", en étant bien conscient qu'il ne s'agit pas de la suite "globale" en tant que telle.
A.
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#10 06-09-2023 19:39:05
- Henderson
- Membre
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- Messages : 16
Re : (-1)^n
Bonjour,
la limite éventuelle d'une suite (ou d'une fonction ) selon une partie peut toujours être considérée, cela revient ( voir un débat récent avec Glozi et Michel Coste ) à considérer la limite éventuelle de la restriction de la suite à cette partie, selon les conventions généralement admises.
Ici en rajoutant ... et n pair .... avec l=1 ou bien ... et n impair ... avec l = -1 dans les définitions précédentes, cela rejoint plus ou moins votre définition avec des "si", en étant bien conscient qu'il ne s'agit pas de la suite "globale" en tant que telle.
A.
Donc , pour vous, vous dites que cela est vrai ? C.à.d la limite vaut 1 si n pair et -1 si n impair.
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#11 07-09-2023 12:54:50
- Zebulor
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Re : (-1)^n
Donc , pour vous, vous dites que cela est vrai ? C.à.d la limite vaut 1 si n pair et -1 si n impair.
Oui, tu te retrouves alors avec deux sous suites. Chaque d'elles est une suite constante pour laquelle la définition de convergence :
"[tex]\forall \epsilon>0,\,\exists N \in \mathbb{N}[/tex] tel que [tex]\forall n \ge N,\, |u_n-l|\le\epsilon[/tex]" se vérifie pour n'importe quel $N$
Dernière modification par Zebulor (07-09-2023 12:57:35)
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#12 09-09-2023 12:20:55
- Zebulor
- Membre expert
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- Messages : 2 220
Re : (-1)^n
Re,
..et si une suite admet deux sous suites divergentes convergentes vers des limites distinctes en $+\infty$, alors elle diverge en $+\infty$. Cela vient du résultat que si une suite converge vers $l$ en $+\infty$; alors toute suite extraite converge aussi vers $l$ en $+\infty$
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