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audrey24

Invité

Aire triangle isocèle

Bonjour,
la formule pour calculer l'aire du triangle isocèle est-elle la suivante : base x hauteur/2

Merci d'avance

MATHILDE23

Membre

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Re : Aire triangle isocèle

Egalement peut-on calculer l'aire d'un triangle équilatéral avec cette formule ?

merci d'avance

yoshi

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Messages : 17 385

Re : Aire triangle isocèle

Bonsoir,

Un triangle isocèle et un triangle équilatéral sont des... triangles.
Donc la formule marche pour les deux évidemment...

Pour le triangle équilatéral, il y a une formule dérivée en partant de a longueur du côté du triangle équilatéral.
On sait que $h = \dfrac{a\sqrt 3}{2}$ (*)
Donc la formule devient :
$\dfrac{a\times a\sqrt 3}{2}=\dfrac{a^2\sqrt 3}{2}$

(*) Si on ne le sait pas, démonstration.
Soit ABC un triangle équilatéral et (par exemple) la hauteur [AH] relative à [BC].
Un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle.
Une règle de 4e dit :
La hauteur relative à la base, la bissectrice de l'angle au sommet sont également, médiane et médiatrice de la base.
Donc H est le milieu de [BC], d'où BH=BC/2=AB/2=AC/2
J'applique le théorème de Pythagore dans le triangle AHB rectangle en H :
$AB^2= AH^2+BH^2$
Donc
$AH^2= AB^2-BH^2$ (1)
Mais j'ai écrit plus haut que BH = BC/2, donc $BH^2=\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2=\dfrac{AB^2}{4}$
Et la formule (1) devient :
$AH^2= AB^2-BH^2=AB^2-\dfrac{AB^2}{4}=\dfrac{4AB^2}{4}-\dfrac{AB^2}{4}=\dfrac{3AB^2}{4}$
D'où $AH =\sqrt{\dfrac{3AB^2}{4}}=\dfrac{\sqrt 3\times \sqrt{AB^2}}{2}=\dfrac{AB \sqrt 3}{2}$

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Si tu ne connais pas la règle citée dans le triangle isocèle.
Les angles $\widehat {ABC},\;\widehat {ACB}\text{ et }\widehat {BAC}$ mesurent 60°...
On a tracé la hauteur [AH].
Donc les triangles AHB et AHC sont rectangles en H et donc les angles $\widehat {BAH}\text{ et }\widehat {CAH}$ mesurent 90°-60°=30°.
Dans le triangle rectangle en H
$\sin \widehat {BAH} = \dfrac{BH}{AB}$  et donc $\sin 30°=\dfrac{BH}{AB}$ (1)
Même démonstration pour le triangle ACH :
$\sin 30°=\dfrac{CH}{AC}$ (2)

Des égalités (1) et (2), on conclut que $\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{CH}{AC}$
Mais on sait que AB = AC, d'où $BH=CH = \dfrac{BC}{2}$
Et on applique Pythagore...

@+