Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Marvin007

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Messages : 25

Entier naturel pair non nul

Bonsoir,

j'envoi ce message car j'ai essayé de faire cet exercice sans trop de succès, je vous envoi donc l'énoncé et mes réponses, si toutefois quelqu'un peu m'aider svp.

Soit a un entier naturel pair non nul.

Soit p un nombre premier divisant a²+1

1)Montrer que p est de la forme 4n+1 ou 4n+3.

2)On suppose que p est de la forme 4n+3.

a)Montrer que p ne divise pas a.

b)Montrer que (a..?) * a² congru 1(p)  " je ne vois pas ce qui est écrit sur la photo d'ou le "?".

Et pour la questions 1) j'ai pû dire que a est pair et non nul, donc a>= 2

puis que p|a²+1 => (4n+1)|a²+1 , soit 4n+1| (4n)²+1 soit 4n+1|16n²+1.

Mais à vrai dire hormis la question 2b) ou je ne vois pas ce qui est écrit, je n'ai pas trop compris l'exercice.

Matou

Invité

Re : Entier naturel pair non nul

Bonjour Marvin,

Pour la première question.
je propose que tu répondes point par point à toutes les questions suivantes. Elles sont très simples. Prends juste le temps de réfléchir. Certaines sont même simplistes.

$a$ est un entier pair non nul. Est-ce que $a^2+1$ est pair ou impair ?
Pour répondre, écris qu'il existe un entier $k$ tel que $a=2k$ !

Combien y a-t'il de nombres premiers pairs. Peux-tu les citer tous ?
Mêmes questions avec des nombres premiers impairs...
Si $p$ divise $a^2+1$, est-ce que $p$ est pair ou impair ?

Maintenant, soit $N$ un nombre quelconque. Tu peux dire que $N=4n$, ou $N=4n+1$, ou $N=4n+2$ ou $N=4n+3$. Il n'y a pas d'autres possibilités. Est-ce que tu vois pourquoi ? Est-ce que tu connais la notion de "modulo" ou celle de division euclidienne ?

Parmi les quatre possibilités évoquées ci-dessus, lesquelles conduisent à $N$ pair et lesquelles à $N$ impair ?

Maintenant, tu as tous les éléments. Tu dis que $p$ est pair ou impair et tu dis quelle forme il doit avoir.

Pour la deuxième question,
Est-ce que ton cours parle de la relation de Bézout ? Ça peut t'aider à répondre aux questions suivantes.
Si $p$ divise $a^2+1$, est-ce que $p$ divise $a^2$ ? est-ce que $p$ divise $a$ ?

Quant à la photo floue, je ne suis pas devin, je ne peux pas t'aider à comprendre l'exercice.

Bonne journée

Matou

Marvin007

Membre

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Messages : 25

Re : Entier naturel pair non nul

Bonjour et merci beaucoup pour  ton aide.https://www.bibmath.net/forums/img/fluxtoolbar/smooth/bt_bquote.png

Pour répondre à tes questions, si a est pair, a² =4k² est pair aussi.

Sauf erreur de ma part 2 est le seul nombre premier pair, et il existe beaucoup de nombre premier impair, je ne sais pas si je pourrai les compter.

Ensuite j'ai compris que vu que a²+1 est impaire, et que p divise a²+1, alors p est impaire, ce qui veut dire que p est de la forme 4n+1 ou 4n+3.Pour les N paire on aura 4n et 4n+2.(somme de deux nombre pair).

Mais j'avoue ne pas comprendre d'ou vient le 4n?

Si ils avaient écrit 2n+1 ou 2n+3 on aurait posé N=2n?

Oui je connais la division euclidienne et j'ai quelque base sur la congruence et les modulos.

Oui dans mon cours on parle de la relation de Bézout, je vais regarder ce cours attentivement ,merci.

Bonne journée

Marvin

Matou

Invité

Re : Entier naturel pair non nul

Bonjour,

Alors, tu as pu répondre à la première question. C'est bien

Pourquoi avoir choisi 4n+1 et 4n+3, ben, je suppose qu'on s'intéresse à la congruence modulo 4.
Je pense que c'est en rapport avec la dernière question (la photo illisible...).
En général, le choix d'une congruence n'est pas chose simple. C'est pour cela qu'au début, on te donne le plus souvent les valeurs qui vont bien pour ton exercice. Ici, j'imagine que la propriété qu'on cherche à démontrer requiert de travailler avec des nombres congrus à 3 modulo 4.

Pour ce qui est de Bézout, on peut montrer que $a$ et $a^2+1$ sont premiers entre eux. C'est assez facile, je te laisse chercher puisque tu sembles avoir compris.
Du coup, si $p$ divise $a^2+1$, est-ce qu'il peut diviser $a$ ?
Tel que je formule ma question, tu devines quelle réponse tu dois donner. L'important c'est que tu comprennes bien pourquoi.

Cette relation de Bézout est centrale en arithmétique, elle te permettra de résoudre pas mal de problèmes...

Bonne journée

Matou

Chlore au quinoa

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Re : Entier naturel pair non nul

Salut ! Pour répondre à ta question sur les $4n$ et $2n$, tous les nombres impairs peuvent s'écrire de la forme $2n+1$ (par exemple $3 = 2\times 1 + 1$, $5 = 2\times 2 + 1$ etc. Pour les $4n +1$ et $4n +3$ c'est pareil ! C'est une question de congruence comme a dit Marvin !
Si tu voulais faire avec $6$, tu aurais dû considérer $6n+1$, $6n+3$, et $6n + 5$.
Je ne sais pas si j'ai été très clair...
N'hésite pas si tu as des questions !

Adam

(P.-S. : Plaisir de revenir sur ce forum)

Dernière modification par yoshi (28-09-2022 17:42:51)

Marvin007

Membre

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Re : Entier naturel pair non nul

Bonjour,

Alors, tu as pu répondre à la première question. C'est bien

Pourquoi avoir choisi 4n+1 et 4n+3, ben, je suppose qu'on s'intéresse à la congruence modulo 4.
Je pense que c'est en rapport avec la dernière question (la photo illisible...).
En général, le choix d'une congruence n'est pas chose simple. C'est pour cela qu'au début, on te donne le plus souvent les valeurs qui vont bien pour ton exercice. Ici, j'imagine que la propriété qu'on cherche à démontrer requiert de travailler avec des nombres congrus à 3 modulo 4.

Pour ce qui est de Bézout, on peut montrer que $a$ et $a^2+1$ sont premiers entre eux. C'est assez facile, je te laisse chercher puisque tu sembles avoir compris.
Du coup, si $p$ divise $a^2+1$, est-ce qu'il peut diviser $a$ ?
Tel que je formule ma question, tu devines quelle réponse tu dois donner. L'important c'est que tu comprennes bien pourquoi.

Cette relation de Bézout est centrale en arithmétique, elle te permettra de résoudre pas mal de problèmes...

Bonne journée

Matou

Bonjour et merci pour ton aide, alors pour te répondre, si p divise a²+1 (impair) alors p ne peut pas diviser a(qui est pair).
Et c'est bien ce que je vois, la relation de Bézout est souvent utilisé!
Je vais demander à mon professeur ce qui est illisible.
Je vais chercher la suite, merci encore

Matou

Invité

Re : Entier naturel pair non nul

Bonsoir,

Attention, un nombre pair ne peut pas diviser un nombre impair, mais l'inverse n'est pas vrai : par exemple $3$ divise $6$...

C'est pourquoi je t'ai proposé de montrer que $a^2+1$ et $a$ sont premiers entre eux avec l'aide de Bézout. Il y a peut-être d'autres raisonnements possibles mais c'est celui auquel j'ai pensé.

Bonne soirée

Matou