Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Existence et unicité d'un système de Cauchy vectoriel

Bonjour,
on considère le problème de Cauchy suivant
$$y''+g(x,y)=0, y(0)=y_0, y'(0)=z_0$$
La question est de montrer que ce problème admet une solution unique.

Pour celà, on peut écrire ce problème sous forme d'un système de deux équations diff d'ordre 1 en faisant un changement de variable, et on obtient le système
$$\begin{cases} y_1'=y_2,\\y_2'=-g(x,y_1)\end{cases}$$
où $g$ et $\dfrac{\partial g}{\partial y}$ sont continues sur $$\mathcal{R}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: |x-x_0| \leq a, |y-y_0| \leq b\}$$
Qu'on peut écrire sous la forme e $$Y'=H(x,Y)$$ avec $H(x,Y)=(y_2,-g(x,y_1))$
Ensuite, je souhaite utiliser le théorème suivant
Théorème: On considère le problème de Cauchy $Y'=H(x,Y), Y(x_0)=Y_0$ où $H(x,Y)$ est définie sur $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ et $Y \in \mathbb{R}^n$, sur $$B=\{(x,Y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n, x_0 \leq x \leq x_0+a, ||Y-Y_0|| \leq b\}$$
Si $H$ est continue et bornée sur $B$ et si $H$ est Lipschitsz par rapport à $Y$ sur $B$, alors le système admet une solution unique sur l'intervalle $[x_0,x_0+\alpha]$ où $\alpha=\min(a,b/M)$ avec $M=\max_{(x,Y) \in B} ||H(x,Y)||$

Ma question est: comment argumenter le fait que $H(x,Y)$ soit continue et bornée sur $B$?

Aussi, quel sens a l'écriture $\max_{(x,Y) \in B} ||H(x,Y)||$?

Merci d'avance pour votre aide.

Dernière modification par ccapucine (20-02-2022 18:10:43)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Existence et unicité d'un système de Cauchy vectoriel

Bonjour,

Tu n'as pas oublié quelque chose ? Du genre les hypothèses faites sur [tex]g[/tex] ?

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : Existence et unicité d'un système de Cauchy vectoriel

Oui pardon,
$g$ et $\dfrac{\partial g}{\partial y}$ sont continues sur $$\mathcal{R}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: |x-x_0| \leq a, |y-y_0| \leq b\}$$

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Existence et unicité d'un système de Cauchy vectoriel

Eh bien sers toi de cette hypothèse sur [tex]g[/tex] pour montrer que les hypothèses du théorème de Cauchy sont vérifiées.