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Abdoumahmoudy

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Dérivée d'une puissance d'une fonction

Bonjour, on sait bien que si on a une fonction u(x) alors la dérivée de (u(x))^r est r.(u(x)^(r-1)).u'(x) , mais je veux comprendre est ce que cela est vraie pour tout r appartenant à R ?
Merci beaucoup.

Fred

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Re : Dérivée d'une puissance d'une fonction

Bonjour,

  Oui, c'est vrai, mais si $r$ n'est pas un entier, il faut que $u$ soit strictement positive.

F.

Abdoumahmoudy

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Re : Dérivée d'une puissance d'une fonction

D'accord merci beaucoup Fred.

Abdoumahmoudy

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Re : Dérivée d'une puissance d'une fonction

Vous avez dit celà car on ne peut pas calculer (-1) puissance un nombre non entier , c'est pour cela ,non ?

Roro

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Re : Dérivée d'une puissance d'une fonction

Vous avez dit celà car on ne peut pas calculer (-1) puissance un nombre non entier , c'est pour cela ,non ?

Oui, c'est un peu ça.

Lorsqu'on veut définir $x^2$, on dit que c'est $x \times x$. De la même façon, pour dire $x\times x \times x$ on écrit $x^3$. Il est donc naturel de définir $x^n$ pour tous les entiers naturels $n\in \mathbb N$.

On a alors de façon "évidente" $x^{n+m} = x^n \times x^m$.      $(\star)$

On peut aussi facilement étendre la notation avec des entiers $n$ relatif en posant $x^{-1} = \frac{1}{x}$, à condition que $x$ ne soit pas nul. La propriété $(\star)$ permet alors de définir $x^{n}$ pour tout entier relatif $n\in \mathbb Z$.

Si on veut définir $x^a$ avec $a$ réel, et si on veut que $(\star)$ soit encore vraie, alors c'est un peu plus compliqué et on ne peut pas le faire pour tous les réels $x$ (sinon, il y aurait des soucis de prolongement, mais c'est une histoire plus "complexe").

Ce qui fonctionne c'est de définir $x^a = \mathrm e^{a \ln(x)}$ pour tout réel $a$ et pour tout $x>0$, et évidemment $(\star)$ est encore vraie.

Finalement, tu as raison : on peut définir $(-1)^a$ uniquement pour $a\in \mathbb Z$.

Roro.

Dernière modification par Roro (02-02-2022 20:52:09)

Abdoumahmoudy

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Re : Dérivée d'une puissance d'une fonction

Bon , d'accord merci beaucoup.