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Pharès

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Équation Diff du 1er ordre

Bonjour.

Il s'agit de résoudre l'équation différentielle suivante :
$ xy' -y^{2} +(2x+1)y =x^{2}+2x $  avec
$ \int_0^{2}\,(x-y)^{2}\,dx = 1 $

En voyant, il s'agit de l'équation de Riccati. Alors, j'ai cherché une solution particulière qui est $ x $ ou $ x-1 $ dont la 1ere vérifie l'équation différentielle donnée et ne vérifiant pas la condition d'intégrale donnée. Tandis que c'est le contraire pour la seconde solution particulière : genre, ça vérifie la condition donné mais ne vérifie pas l'équation différentielle même. Essayez de remplacer et vous verrez avec moi. (Jvp).

Alors, depuis J'ai de difficulté à choisir une solution pour continuer mon travail. Je ne sais même pas pourquoi la condition d'intégrale là est donné. Pire ça contredit les choses. 
Essayer de m'aider svp. Merci

Dernière modification par Pharès (20-12-2021 09:22:16)

Roro

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Re : Équation Diff du 1er ordre

Bonjour Pharès,

L'équation différentielle étudiée admet une infinité de solution. La condition intégrale donnée permet d'en sélectionner une seule.
La première étape consiste donc à chercher toutes les solutions de ton équation différentielle, sans se pré-occuper de la condition intégrale.

Tu as déjà fait le plus dur : déterminer une solution particulière ($y_0(x)=x$).
Les étapes suivantes sont celles-ci :
1/ chercher la solution générale $y$ sous la forme $y(x)=u(x)+x$ (car $x$ est ta solution particulière).
2/ remarquer que $u$ vérifie une équation de Bernoulli et rechercher sa solution $u$ sous la forme $u(x)=\frac{1}{z(x)}$.
3/ l'équation différentielle satisfaite par $z$ est linéaire et on peut trouver toutes les solutions (si je ne me suis pas trompé : $z(x)=1+Cx$ mais je suis allé très vite, à vérifier)
4/ en déduire toutes les solutions de ton équation différentielle initiale
5/ parmi ces solutions, lesquelles satisfont la condition intégrale ?

Roro.

Dernière modification par Roro (20-12-2021 09:55:44)

Pharès

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Re : Équation Diff du 1er ordre

Bonjour Mr Ro.

Ah oui.. Merci beaucoup, c'est bien compris maintenant. Je croyais que la condition d'intégrale donnée me permettrais d'avoir une solution particulière. Alors que non. C'est pour rendre la solution unique à l'équation différentielle en général. Tout comme un problème de Cauchy... Ahh, vraiment merci beaucoup pour l'éclaircissement. Bonne année par anticipation.

JJ

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Re : Équation Diff du 1er ordre

Bonjour,
Il s'agit bien d'une équation de Riccati. La méthode classique de résolution donne la solution générale :
$y=\frac{x}{c-x}+x+1$
On la porte dans l'intégrale dont le calcul est aisé. Ce qui conduit à l'équation :
$\frac{2c}{c-2}=1$
$c=-2$
D'où la solution :
$y=\frac{x}{-2-x}+x+1=\frac{x^2+2x+2}{x+2}$

Roro

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Re : Équation Diff du 1er ordre

Bonsoir,

Quel est l'intérêt de donner la réponse ainsi ??

Il me semble que ce site est plutôt un site d'entraide que de "je fais les devoirs à ta place". L'idée est de faire comprendre les idées et les méthodes...

Pas de doute que nous sommes très nombreux à savoir faire le calcul mais c'est sans doute parce qu'un jour on a réfléchi et pas seulement recopié !

Roro.

Dernière modification par Roro (20-12-2021 17:51:04)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Équation Diff du 1er ordre

Bonsoir,

Il me semble que ce site est plutôt un site d'entraide que de "je fais les devoirs à ta place". L'idée est de faire comprendre les idées et les méthodes...

Tout à fait...

Je suis surpris que JJ ait oublié... C'est bien dommage, il n'est pourtant pas un "bleu", quand bien même on ne l'ait pas vu depuis longtemps : ceci explique peut-être cela.
Mais il est toujours le bienvenu.

@+

Pharès

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Re : Équation Diff du 1er ordre

Bonjour,
Il s'agit bien d'une équation de Riccati. La méthode classique de résolution donne la solution générale :
$y=\frac{x}{c-x}+x+1$
On la porte dans l'intégrale dont le calcul est aisé. Ce qui conduit à l'équation :
$\frac{2c}{c-2}=1$
$c=-2$
D'où la solution :
$y=\frac{x}{-2-x}+x+1=\frac{x^2+2x+2}{x+2}$

Bonsoir Mr JJ.
Merci bien pour l'aide. Mais, êtes vous sûr de votre solution là ? Vérifiez voir si ça vérifie l'équation. Perso, à voir déjà sa forme, je ne pense pas que c'est juste

JJ

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Re : Équation Diff du 1er ordre

Bonjour Pharès,

Il ne faut pas ignorer le point de vue de Roro qui pense que j'en ai déjà trop fait (il a sans doute raison). Alors je laisse à qui voudra bien le plaisir de refaire les calculs intermédaires et de publier seulement ce qui est souhaitable du point de vue pédagogique, selon les usages sur ce phorum. On vera bien si le résultat final que j'ai donné est correct ou non.
Inciter à retrouver par soi-même un résultat donné à priori est aussi une méthode pédagogique qui en vaut bien une autre.

Dernière modification par JJ (22-12-2021 21:23:58)

Roro

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Re : Équation Diff du 1er ordre

Bonsoir JJ,

Inciter à retrouver par soi-même un résultat donné à priori est aussi une méthode pédagogique qui en vaut bien une autre.

C'est exact... dans le cas présent, cette méthode semble d'ailleurs porter ses fruits puisque Phares réagit !

J'avais répondu un peu directement car j'avais l'impression que j'avais donné suffisamment de contenu pour que Phares puisse avancer de lui même.

En espérant que tu ne l'aies pas mal pris.

Roro.

Dernière modification par Roro (22-12-2021 22:07:22)

JJ

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Re : Équation Diff du 1er ordre

Bonjour Roro,
N'aie crainte, je ne l'ai pas mal pris du tout. Ma remarque s'adressait uniquement à Pharès qui semblait me soupçonner de ne pas vérifier mon résultat avant de le publier.

Bonjour Pharès,
Par hasard serais-tu membre de la CPEM dont un précepte favori est : << Demander à autrui de vérifier ce que l'on pourrait vérifier soi-même >>.
CPEM = Confrérie des Partisans de l'Effort Minimum.

Pharès

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Re : Équation Diff du 1er ordre

Bonsoir à tous.
Ahh c'est compris Mr JJ.

En passant, quand j'ai essayé de finir l'exo, j'ai trouvé comme solution unique $ x+1 $ . Vraiment, la recherche de la constante que je désigne par "k" après avoir trouvé la forme generale des solutions de L'eqt° diff n'a pas l'aire  assez évidente. Car j'ai obtenu une équation à la fin pas facile à résoudre mais très facile de voir une constante évidente qui le vérifie. Enfaite j'ai trouvé ceci : $ \lvert 2-\frac{1}{k+1} \rvert = exp(-k) $

On voit évidemment que k=0 marche évidemment. Mais en prenant k=0, la solution générale devient x+1 et ça ne vérifie pas la condition intégrale donné. Donc forcément, la fonction que je vais définir f(k) par l'équation obtenue admet un autre zéro sûrement et je pense que c'est cela qui va marcher.  Ça peut se justifier mais peut être ce zéro de f(k) ne peut pas être touché de doigt. On peut donc donner un intervalle à qui, il appartient.

C'est en résumé la manière dont j'avais terminé l'exo. Vos apports me serait très bénéfique et un plaisir. Merci

Dernière modification par Pharès (24-12-2021 15:04:59)

Pharès

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Re : Équation Diff du 1er ordre

Bonjour Roro,
N'aie crainte, je ne l'ai pas mal pris du tout. Ma remarque s'adressait uniquement à Pharès qui semblait me soupçonner de ne pas vérifier mon résultat avant de le publier.

Bonjour Pharès,
Par hasard serais-tu membre de la CPEM dont un précepte favori est : << Demander à autrui de vérifier ce que l'on pourrait vérifier soi-même >>.
CPEM = Confrérie des Partisans de l'Effort Minimum.

Rebonsoir
Mr JJ  . C'est pas grave. Ce sera même un plaisir d'en faire partir.

Dernière modification par Pharès (24-12-2021 15:04:13)