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maths48

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Exercice : c-espace vect. et poly. d'endomorphisme

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/KLdiX05PRvA

J'ai fait la question 1, pas de soucis.

Pour la 2 : S1 est l'ensemble des fonction égales à leur dérivée et seules les fonctions exponentielles f(x) = sont les seules fonctions x = k*exp(x) le sont, donc S1 = { y = k*exp(y)} | k ∈ E } ? Je ne vois pas trop comment le formaliser...

Pour la 3 : peut-on justifier que D(y) = y' ∈ E car l'ensemble des fonctions vérifiant y^(n) = y (Sn donc) est un sous espace vectoriel de E (montré à la question 1) ?

Et la 4 : aucune idée de comment procéder...

Je vous remercie d'avance,
Bonne journée

Fred

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Re : Exercice : c-espace vect. et poly. d'endomorphisme

Bonjour,

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/KLdiX05PRvA

J'ai fait la question 1, pas de soucis.

Pour la 2 : S1 est l'ensemble des fonction égales à leur dérivée et seules les fonctions exponentielles f(x) = sont les seules fonctions x = k*exp(x) le sont, donc S1 = { y = k*exp(y)} | k ∈ E } ? Je ne vois pas trop comment le formaliser...

En termes d'équations différentielles? Tu connais les solutions des équations différentielles $y'-ay=0$ normalement...

Pour la 3 : peut-on justifier que D(y) = y' ∈ E car l'ensemble des fonctions vérifiant y^(n) = y (Sn donc) est un sous espace vectoriel de E (montré à la question 1) ?

Non, ça n'a rien à voir.... Tous simplement, si une fonction est $C^\infty$ sa dérivée est aussi $C^\infty$, non??

Et la 4 : aucune idée de comment procéder...

Et si tu partais de
$$y^{(n)}=y\iff y^{(n)}-y=0\iff D^n(y)-Id(y)=0.$$

F.

maths48

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Re : Exercice : c-espace vect. et poly. d'endomorphisme

Bonjour, merci de votre réponse.

Question 2 : ce sont les fonctions solutions de y′−ay=0 donc les fonctions f(x) = k*e^-G(x) avec G(x) une primitive de a, c'est ça ?
Pour la 3 : effectivement je n'y avais même pas pensé...
Je vais réfléchir à la 4

maths48

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Re : Exercice : c-espace vect. et poly. d'endomorphisme

De plus, comment peut-on démontrer si une fonction est C^∞, sa dérivée est aussi C^∞ ?

Fred

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Re : Exercice : c-espace vect. et poly. d'endomorphisme

Ça signifie quoi pour toi $C^\infty$?

maths48

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Re : Exercice : c-espace vect. et poly. d'endomorphisme

C'est l'ensemble des fonctions f dérivables à l'infini sur I. f est C^k si toutes les dérivées de f jusqu'à l'ordre k existent sur I, et si f^(k) est continu sur I et f est C^∞ si f est C^k sur I pour tout k.

maths48

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Re : Exercice : c-espace vect. et poly. d'endomorphisme

Depuis j'ai réussi à faire la question 4. J'ai trouvé Pn(X) = Xⁿ-1

Maintenant je bloque sur la décomposition de Pn(X)...
J'ai résolu Xⁿ-1 = 0 : je trouve X = e^i2kpi/n

Je n'arrive pas à trouver de factorisation qui fonctionne...
Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne soirée