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user1992

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Action de groupes et dénombrement.

Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur un corps fini $\mathbb{K}$ de cardinal $q$.

On souhaite dénombrer l'ensemble $X$ des sous espaces vectoriels de dimension $k \leq n$ défini par :   $$X : =\{ F \subset E, \dim F = k \}.$$

Soit $x \in X$, j'ai un peu de mal à décrire l'orbite de $x$. J'ai tenté le raisonnement suivant :

Considérons l'action du groupe linéaire $GL_{n}(E)$ sur $X$. Soit $(f_1, f_2, \cdots, f_k) = : x$ une base de $F$.
L'orbite de $x$ pour cette action contient les images par $g \in GL_{n}(E) $ d'une base de $F$ ce qui signifie qu'un élément de l'orbite est donc de la forme $(g(f_1), g(f_2), \cdots, g(f_k))$ qui reste une base car $g$ conserve la dimension. On peut donc affirmer que l'orbite de $x$ est $X$.

Qu'en pensez vous ?

D'avance merci pour vos retours.

User.

Dernière modification par user1992 (26-11-2021 09:24:46)

Fred

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Re : Action de groupes et dénombrement.

Bonjour,

  Pour le moment, tu n'as démontré que l'orbite de $x$ est contenu dans $X$. Il te faut aussi démontrer que si $G$ est n'importe quel élément de $X$, il existe $g\in GL_n(E)$ tel que $g.x=G$.

F.

bridgslam

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Re : Action de groupes et dénombrement.

Bonjour,

Peux-tu dénombrer le nombre total de familles libres à k éléments dans l'espace entier E?
Tu peux dénombrer le nombre de bases d'un sev F de dimension k ?
En commençant par la deuxième question (en voyant que c'est Card( GL(k) ) puisqu'un automorphisme est définie par sa base image),
il est plus facile de répondre à la première, en suivant la même démarche.

En divisant l'un par l'autre, cela donne la réponse.

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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user1992

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Re : Action de groupes et dénombrement.

Bonjour,

  Pour le moment, tu n'as démontré que l'orbite de $x$ est contenu dans $X$. Il te faut aussi démontrer que si $G$ est n'importe quel élément de $X$, il existe $g\in GL_n(E)$ tel que $g.x=G$.

F.

Bonjour Fred,

Soit $y \in X $. Posons $ y = (y_1, \cdots, y_k)$ où $(y_1, \cdots, y_k)$ est  une famille libre et génératrice de $F$. D'après le théorème fondamental de l'algèbre linéaire il existe un $g$ dans le groupe linéaire tel que pour tout $i = 1, \cdots, k $, $g \cdot x_i = y_i$ et les $x_i$ forment bien une famille libre qui engendrent un espace de dimension $k$ de sorte que $x = (x_1, \cdots, x_k) \in X$. On a donc bien $X \subset \mathcal{O}_x$ et au final $X = \mathcal{O}_x$.

Ainsi l'action du groupe linéaire sur $X$ ne possède qu'une seule orbite. On remarque a fortiori que l'action est transitive. Aurait on pû procéder autrement et poser directement : $x,y \in X$ ($x,y$ deux bases de F), d'après le théorème fondamental il existe (un unique) $g$ dans le groupe linéaire qui réalise $g \cdot x = y$ et conclure  que cette action ne possède qu'une seule orbite ?

User.

Fred

Administrateur

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Re : Action de groupes et dénombrement.

Bonjour,

  Les deux preuves que tu proposes sont plus ou moins la même chose, non???
En tout cas, elles prouvent bien qu'il n'y a qu'une seule orbite.

A+
F.