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Abdoumahmoudy

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Transitivité de l'isomorphisité

Bonjour,
J'ai la question suivante :
Si on a un groupe P isomorphe à un groupe G
Et un groupe G isomorphe à un groupe G'.
Donc eqt ce qu'on peut dire que P est isomorphe à G'?
D'u'e manière générale , est ce qu'on peut dire que l'isomorphisité est une relation transitive ?

bridgslam

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Re : Transitivité de l'isomorphisité

Bonjour,

On le dit, mais il faut savoir que la transitivité est normalement définie pour une relation binaire entre éléments d'un ENSEMBLE.
De la même façon que pour les groupes (il n'y a pas d'ensemble de tous les groupes, mais on peut parler par-contre de la catégorie des groupes) , on dit que l'équipotence ( ou bijectivité) entre ensembles est transitive, malgré le fait qu'il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles.
Bref c'est plutôt un abus de langage, mais ça se fait.
On a un aspect des choses similaire aussi en topologie avec l'homéomorphie entre espaces topologiques...
Stricto sensu, on ne devrait pas parler de transitivité car dans tous ces exemples il n'y a pas un ensemble global sous-jacent.
Dans d'autres théories que l'axiomatique ensembliste de Zermelo Frankel classique, on définit d'emblée d'autres objets que les ensembles,
(qui cohabitent avec eux si je puis dire en arrière-plan) et dans ce cadre certaines notions comme les morphismes y trouvent mieux leur place, plus proprement en tous cas.

Alain

Abdoumahmoudy

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Re : Transitivité de l'isomorphisité

Ah d'accord .
Mais ,est ce que ce cas est le seul où les éléments n'ont pas d'ensembles où ils appartiennent  et on peut définir une relation binaire
Abdou .

bridgslam

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Re : Transitivité de l'isomorphisité

Bonjour,

C’est justement là le souci, on ne peut parler de relation binaire ( et donc de transitivité etc ) que sur un produit cartésien d’ensembles.
Ainsi la relation d’appartenance [tex]\in[/tex] n’est pas une relation binaire sur la classe de tous le ensembles.
D’ailleurs si on s’intéresse même  à des ensembles particuliers, si on veut  les désigner globalement   par un mot, on ne peut pas dire "partie" , sous-ensemble etc, car la plupart du temps il n’y a pas d’ensemble englobant et pire cette "partie" au sens intuitif n’est pas elle-même en soi un ensemble.
On ne peut donc même pas dire que ce sont des parties (au sens mathématique) d’elle-mêmes Il y a une foule d’exemples: les ordinaux etc.

A mon sens ne te casses pas trop la tête sur des questions de dénomination.
Si G est isomorphe à G’ et G’ est isomorphe à G’’, alors G est isomorphe à G’’ ( par exemple pour des opérations ou des ordres donnés ), sans te compliquer la vie.
C’est plus délicat de parler de transitivité.
De toute façon ce n’est pas l’ensemble en soit l’important, mais la structure, dans ces affaires-là les isomorphismes reviennent à des égalités de structure si on peut dire.

Alain