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Thgues

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Norme d'une forme linéaire continue

Bonjour,

On considère deux exposants conjugués p et q, et pour tout [tex]g\in L^q([0;1])[/tex] l'application [tex]l_g[/tex] qui à [tex]f\in L^p([0;1])[/tex] associe le réel [tex]l_g(f)=\int_0^1 fgdm[/tex].

On me demande de montrer que [tex]l_g[/tex] est une forme linéaire continue, et que [tex]||l_g||=||g||_q[/tex] (on pourra poser [tex]f=g|g|^{q-2}[/tex])

J'ai montré facilement que [tex]l_g[/tex] était une forme linéaire. Je laisse la continuité pour la fin...

J'ai pu montrer que [tex]f=g|g|^{q-2} \in L^p([0;1])[/tex]. En particulier, en remarquant que [tex]p(q-2)=q-p[/tex], et en appliquant l'inégalité de Hölder, on y arrive.

J'ai pu enfin démontrer que pour tout [tex]g\in L^q([0;1])[/tex], on a : [tex]||g||_q\ge ||l_g||_p[/tex] (en appliquant l'inégalité de Hölder).

J'essaye maintenant de démontrer l'inégalité inverse, à savoir [tex]||g||_q\le ||l_g||_p[/tex]. Et là je tourne en rond.

Je sais par ailleurs que [tex]||l_g||_p=sup_{f\neq 0} \frac{||l_g(f)||_R}{||f||_p}[/tex], que je n'ai pas encore utilisé.

Dernière modification par Thgues (20-11-2021 09:34:53)

Fred

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Re : Norme d'une forme linéaire continue

Bonjour,

D'abord quelques remarques :

Bonjour,

J'ai pu montrer que [tex]f=g|g|^(q-2) \in L^p([0;1])[/tex]. En particulier, en remarquant que [tex]p(q-2)=q-p[/tex], et en appliquant l'inégalité de Hölder, on y arrive.

Je ne vois pas où tu as appliqué l'inégalité de Hölder pour faire cela. C'est plutôt direct, non?

J'ai pu enfin démontrer que pour tout [tex]g\in L^q([0;1])[/tex], on a : [tex]||g||^q\ge ||l_g||_p[/tex] (en appliquant l'inégalité de Hölder).

Ca, je suis d'accord sauf que je suis perdu dans les indices et les exposants : j'aurais plutôt écrit $\|l_g\|\leq \|g\|_q$
sans indice après $\|l_g\|$ et avec un indice après $\|g\|$ et non un exposant.

Je sais par ailleurs que [tex]||l_g||_p=sup_{f\neq 0} \frac{||l_g(f)||_q}{||f||_p}[/tex], que je n'ai pas encore utilisé.

Je pense que tu as déjà utilisé cette propriété pour démontrer que $\|g\|_q\geq \|l_g\|$.
Cela dit, c'est encore cette propriété qu'il faut utiliser. Pour la fonction $f$ introduite par l'énoncé,
que vaut $\|l_g(f)\|_q$ et que vaut $\|f\|_p$???

F.

Thgues

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Re : Norme d'une forme linéaire continue

Bonjour et merci Fred.

J'aurais dû me relire, il y a des commandes latex qui ne sont pas passées.

Je souhaiterais reprendre la démonstration de [tex]||l_g||\le ||g||_q[/tex].

J'avais écrit, avec [tex]f=g|g|^{q-2}[/tex], et d'après l'inégalité de Hölder :

[tex]\int_0^1 |fg| dm \le  (\int_0^1 |g|^p |g|^{p(q-2)}dm)^{\frac{1}{p}}(\int_0^1 |g|^qdm)^{\frac{1}{q}}[/tex]

Puis, en remarquant que [tex]p(q-2)=q-p[/tex], alors [tex]|g|^p |g|^{p(q-2)}=|g|^{p+q-p}=|g|^q[/tex], et donc :

[tex]\int_0^1 |fg| dm \le  (\int_0^1 |g|^q dm)^{\frac{1}{p}}(\int_0^1 |g|^qdm)^{\frac{1}{q}}=\int_0^1 |g|^q dm[/tex] car [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] sont conjugués.

Finalement, [tex]\int_0^1 |fg| dm \le \int_0^1 |g|^q dm[/tex]

Je ne comprends plus comment j'obtiens [tex]||l_g||\le ||g||_q[/tex].

Thgues

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Re : Norme d'une forme linéaire continue

Puis, répondre à ceci : Cela dit, c'est encore cette propriété qu'il faut utiliser. Pour la fonction $f$ introduite par l'énoncé,
que vaut $\|l_g(f)\|_q$ et que vaut $\|f\|_p$???

F.

On a : [tex]||f||_p=|||g|g|^{q-2}||_p=(\int_0^1 |g|^p|g|^{p(q-2)}dm)^{\frac{1}{p}}=(\int_0^1 |g|^qdm)^{\frac{1}{p}}[/tex]

et je montre que [tex]l_g(f)=l_g(g|g|^{q-2})=\int_0^1 g|g|^{q-2}gdm=\int_0^1 g^2|g|^{q-2}dm=\int_0^1 |g|^qdm[/tex]

Thgues

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Re : Norme d'une forme linéaire continue

Bonjour,

Histoire de terminer ce problème...
On avait montré, avec l'inégalié de Hölder, que [tex]||l_g||\le ||g||_q[/tex].

Ensuite, en considérant [tex]f=g|g|^{q-2}[/tex], on remarquait que d'une part, [tex]\int_0^1 |f|^pdm=(||g||_q)^q<\infty[/tex] et d'autre part, que :

[tex]l_g(f)=\int_0^1 fgdm=\int_0^1 |g|^qdm=||g||_q^q[/tex].

Or, [tex]||g||_q^q=||g||_q^{\frac{q}{p}+1}=||g||_q^{\frac{q}{p}}||g||_q=||f||_p||g||_q[/tex].

Ainsi, pour [tex]f=g|g|^{q-2}[/tex], on a [tex]l_g(f)=||f||_p||g||_q[/tex], soit [tex]\frac{|l_g(f)|}{||f||_p}=||g||_q
[/tex] et donc [tex]||l_g||= \sup_{||f||_p\neq 0} \frac{|l_g(f)|}{||f||_p}\ge ||g||_q[/tex].

On a donc bien [tex]||l_g||=||g||_q[/tex].

Dernière modification par Thgues (27-12-2021 04:36:26)

meiklrini

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Re : Norme d'une forme linéaire continue

Bonjour,

D'abord quelques remarques :

Bonjour,

J'ai pu montrer que [tex]f=g|g|^(q-2) \in L^p([0;1])[/tex]. En particulier, en remarquant que [tex]p(q-2)=q-p[/tex], et en appliquant l'inégalité de Hölder, on y arrive cinema hd.

Je ne vois pas où tu as appliqué l'inégalité de Hölder pour faire cela. C'est plutôt direct, non?

J'ai pu enfin démontrer que pour tout [tex]g\in L^q([0;1])[/tex], on a : [tex]||g||^q\ge ||l_g||_p[/tex] (en appliquant l'inégalité de Hölder).

Thanks.
Ca, je suis d'accord sauf que je suis perdu dans les indices et les exposants : j'aurais plutôt écrit $\|l_g\|\leq \|g\|_q$
sans indice après $\|l_g\|$ et avec un indice après $\|g\|$ et non un exposant.

Je sais par ailleurs que [tex]||l_g||_p=sup_{f\neq 0} \frac{||l_g(f)||_q}{||f||_p}[/tex], que je n'ai pas encore utilisé.

Je pense que tu as déjà utilisé cette propriété pour démontrer que $\|g\|_q\geq \|l_g\|$.
Cela dit, c'est encore cette propriété qu'il faut utiliser. Pour la fonction $f$ introduite par l'énoncé,
que vaut $\|l_g(f)\|_q$ et que vaut $\|f\|_p$???

F.

Dernière modification par meiklrini (04-01-2022 16:52:23)